Beweis von Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:02 Di 06.05.2008 | | Autor: | Hungry-WiTi |
| Aufgabe | Gegeben Sie die rekursiv definierte Folge a1 = 1 , [mm] a_{n+1 }= (5a_n+8)/(2a_n+5).
[/mm]
Zeigen Sie:
(a) [mm] 1\le a_n [/mm] < 2.
Tipp: Die linke Ungleichung ist einfach zu begründen. Die rechte muss
man mit vollständiger Induktion zeigen, dabei auch die linke benutzen.
(b) (an) ist monoton wachsend.
Tipp: Benutzen Sie [mm] a_{n+1 }= a_n*((5+8/a_n)/2a_n+5) [/mm] und begrüunden Sie dann, warum der Ausdruck in der Klammer immer größer gleich 1 ist.
(c) Welchen Grenzwert hat an? |
Mit Hilfe des Quotientenkriteriums kann ich die linke Seite beweisen, allerdings habe ich Probleme mit der Induktion und bei b).
Über Tipps und Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben Sie die rekursiv definierte Folge a1 = 1 , [mm]a_{n+1 }= (5a_n+8)/(2a_n+5).[/mm]
>
> Zeigen Sie:
> (a) [mm]1\le a_n[/mm] < 2.
> Tipp: Die linke Ungleichung ist einfach zu begründen. Die
> rechte muss
> man mit vollständiger Induktion zeigen, dabei auch die
> linke benutzen.
> (b) (an) ist monoton wachsend.
> Tipp: Benutzen Sie [mm]a_{n+1 }= a_n*((5+8/a_n)/2a_n+5)[/mm] und
> begrüunden Sie dann, warum der Ausdruck in der Klammer
> immer größer gleich 1 ist.
> (c) Welchen Grenzwert hat an?
> Mit Hilfe des Quotientenkriteriums kann ich die linke
> Seite beweisen,
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Was meinst Du mit "Quotientenkriterium"? Das hat hier nämlich nichts zu suchen, es ist für die Konvergenz von Reihen.
Welche linke Seite hast Du damit bewiesen?
> allerdings habe ich Probleme mit der
> Induktion
Was hast Du denn bisher getan? Wenn wir nicht sehen, was Du machst, können wir nicht so gut helfen.
Ich würde zeigen, daß [mm] 2-a_n>0 [/mm] ist.
Zeig' mal, wie weit Du mit der Induktion kommst.
> und bei b).
> Über Tipps und Hilfe wäre ich sehr dankbar.
Für b) mußt Du a) verwenden.
Gruß v. Angela
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