Beweis von Caratheodory < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Mo 04.11.2013 | | Autor: | Ladon |
Hallo,
ich habe noch eine Verständnisfrage zum Beweis des Maßfortsetzungssatzes. Der Beweis von Caratheodory ist sicherlich bekannt (vgl. z.B. ![[]](/images/popup.gif) Maß- und Integrationstheorie, Bauer, S.23ff).
Wenn ich nun zeigen möchte, dass [mm] \mu^\*=\mu, [/mm] wie auf Seite 24, aber nicht auf einen Ring [mm] \mathcal{R}, [/mm] wie im Link, sondern auf [mm] \mathcal{B}^d, [/mm] deren Elemente die Borel-Mengen sind, gilt, dann kann ich doch eigentlich recht analog zu dem Beweis vorgehen, der im Link vorgestellt wird. Oder kann man [mm] \mu^\*=\mu [/mm] auf [mm] \mathcal{B}^d [/mm] nicht unbedingt sagen?
MfG Ladon
|
|
| |
|
Hiho,
was für ein mathematisches Mengending sind denn die Borel-Mengen?
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Mo 04.11.2013 | | Autor: | Ladon |
Borel-Mengen sind Elemente einer [mm] \sigma-Algebra [/mm] und zwar der von der Familie [mm] \mathcal{Q}^d [/mm] der halboffenen Quadern in [mm] \IR^d [/mm] erzeugte [mm] \sigma-Algebra., [/mm] also [mm] B\in\sigma(\mathcal{Q}^d)=\mathcal{B}^d [/mm] ist Borel-Menge.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Mo 04.11.2013 | | Autor: | Ladon |
Heißt das jetzt, dass ich quasi die Eigenschaften des Rings, die ja auch auf der [mm] \sigma-Algebra [/mm] gelten, auf [mm] \mathcal{B}^d [/mm] übertragen kann und daher [mm] \mu^\*=\mu [/mm] auch auf [mm] \mathcal{B}^d [/mm] gilt? Oder was willst du mir damit sagen?
MfG Ladon
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Heißt das jetzt, dass ich quasi die Eigenschaften des Rings, die ja auch auf der [mm]\sigma-Algebra[/mm] gelten, auf [mm]\mathcal{B}^d[/mm] übertragen kann und daher [mm]\mu^\*=\mu[/mm] auch auf [mm]\mathcal{B}^d[/mm] gilt?
[mm]\mathcal{B}^d[/mm] ist, wie du schon korrekt erkannt hast, eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] und damit doch insbesondere ein Ring!
Jede [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist ein Ring, demzufolge gilt der Beweis eben insbesondere für [mm] $\sigma$-Algebren.
[/mm]
Das ist vergleichbar, wenn ich sage: Jede durch 2 teilbare Zahl ist gerade.
Müsstest du dann einen Beweis führen, dass jede durch 4 teilbare Zahl gerade ist?
Gruß,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Mo 04.11.2013 | | Autor: | Ladon |
OK. Vielen Dank für deine Hinweise! Da hätte ich mir in der Tat zu viel Arbeit gemacht.
LG Ladon
|
|
|
|
