Beweis von Binomialkoeffizient < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie
[mm] \left(\frac{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!} [/mm] |
Ich komme bis hier her mit meinem Latein:
[mm] \left(\frac{n}{k}\right)=\frac{n*(n-1)(n-2)..(n(k-1))}{1*2*3*...*k}
[/mm]
Das ist ja die Definition. Wie komme ich aber jetzt auf das Ergebnis?
Die Lösung hab ich vorliegen und lautet:
[mm] \left(\frac{n}{k}\right)=\frac{n*(n-1)(n-2)..(n(k-1))}{1*2*3*...*k}=\frac{n*(n-1)(n-2)...(n-(k-1))*(n-k)!}{k!*(n-k)!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
So wie ich das sehe wurde nur der Nenner und der Zähler mit (n-k)! erweitert, aber wieso verschwindet die Klammer im Nenner wieder und bleibt nur im Zähler stehen?
für (n-k) kann man doch auch schreiben: ((n+1)-(k-1)) oder? Aber das hilft mir auch nicht weiter :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweisen Sie
> [mm]\left(\frac{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
Die Schreibweise [mm]\left(\frac{n}{k}\right)[/mm] ist so nicht korrekt;
da ist kein Bruchstrich ! Im Formeleditor wird das als
"\vektor{n\\k}" geschrieben.
> Ich komme bis hier her mit meinem Latein:
>
> [mm]\left(\frac{n}{k}\right)=\frac{n*(n-1)(n-2)..(n(k-1))}{1*2*3*...*k}[/mm]
Auch da ist eine Korrektur notwendig; anstatt
(n(k-1)) müsste da (n-(k-1)) stehen !
> Das ist ja die Definition. Wie komme ich aber jetzt auf
> das Ergebnis?
>
> Die Lösung hab ich vorliegen und lautet:
>
> [mm]\left(\frac{n}{k}\right)=\frac{n*(n-1)(n-2)..(n(k-1))}{1*2*3*...*k}=\frac{n*(n-1)(n-2)...(n-(k-1))*(n-k)!}{k!*(n-k)!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
links wieder die obigen Korrekturen !
> So wie ich das sehe wurde nur der Nenner und der Zähler mit
> (n-k)! erweitert,
zur Terminologie: der Bruch wurde mit (n-k)! erweitert,
das heisst sein Zähler und sein Nenner wurden mit (n-k)! multipliziert.
> aber wieso verschwindet die Klammer im
> Nenner wieder und bleibt nur im Zähler stehen?
1.) wo "verschwindet" hier eine Klammer ?
2.) verwechselst du möglicherweise "Zähler" und "Nenner" ?
>
> für (n-k) kann man doch auch schreiben: ((n+1)-(k-1)) oder?
stimmt so nicht, aber: n-(k-1)=n-k+1 oder z.B. (n-k)=((n-1)-(k-1))
Der wesentliche Schritt besteht einfach darin, dass man n! so
aufteilen kann:
$n! = n*(n-1)*(n-2)*... *3*2*1\ =\ [mm] \left(n*(n-1)*(n-2)*... *(n-k+1)\right)\ [/mm] *\ [mm] \underbrace{\left((n-k)*(n-k-1)*.....3*2*1\right)}_{(n-k)!}$
[/mm]
LG
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Danke für die Antwort, ja ich hatte wohl Nenner und Zähler in dem Satz vertauscht.
Mir gehts darum: [mm] \frac{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
Davor wurde der Bruch ja mit (n-k)! erweitert, aber (n-k)! steht dann nur noch im Nenner und nicht mehr im Zähler. Ich erkenne den Vorgang nicht, wieso (n-k)! im Zähler nicht mehr auftaucht und
[mm] \frac{n!}{k!(n-k)!}
[/mm]
der Beweis ist. Hier steht ja im Nenner noch das (n-k)! von der Erweiterung des Bruches, aber wo ist es im Zähler?
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ich habe doch die Zerlegung von n! in zwei Faktoren,
von denen der eine (n-k)! und der andere im Ausgangsterm
vorkommt, genau angegeben ...
Gruß
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