Beweis vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:04 So 16.11.2008 | | Autor: | IKEA |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Aussage durch vollständige Induktion:
[mm] \summe_{i=1}^{n}= [/mm] 2 + 4 + 8 + ... + 2n = [mm] 2^{n+1} [/mm] - 2
|
Hallo. Studiere auf Grundschullehramt und jetzt sollen wir das hier in Mathe beweisen. Irgendwie raff ichs nicht.
Vielleicht kann hier mir jemand das mal erklären
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 So 16.11.2008 | | Autor: | IKEA |
Im Prinzip weiß ich schon, wie die vollständige Induktion funktioniert. Das Problem ist, daß die Aufgabenstellung meiner Meinung nach doch falsch ist, d.h. am Ende der Aufgabe steht ja -2, und damit stimmt das zwar für n=1 und n=2, aber ab n=4 eben nicht mehr.
Der erste Schritt ist ja der Beweis mit n=1, soweit OK, nur eben der Rest halt nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 So 16.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo IKEA!
Hm, bei mir stimmt die Formel ... es muss in der Aufgabenstellung allerdings auch [mm] $2+4+8+...+2^{\red{n}} [/mm] \ = \ [mm] 2^{n+1}-2$ [/mm] lauten (also der letzte Summand mit $n_$ als Hochzahl).
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 So 16.11.2008 | | Autor: | IKEA |
Ja, stimmt, ist auch hoch 2. Mein Fehler ! Aber trotzdem hab ich keinen Plan. Erklär mir doch mal bitte, wie ich das machen soll.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 So 16.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo IKEA!
Nun denn, hier die ersten Schritte im Induktionsschritt (Induktionsanfang ist ja wohl klar, oder?).
[mm] $$\summe_{i=1}^{n+1}2^i [/mm] \ = \ [mm] \blue{\summe_{i=1}^{n}2^i} [/mm] \ [mm] +2^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \blue{2^{n+1}-2} [/mm] \ [mm] +2^{n+1} [/mm] \ = \ ...$$
Nun fasse mal [mm] $2^{n+1}+2^{n+1}$ [/mm] zusammen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 So 16.11.2008 | | Autor: | IKEA |
Ich sag jetzt ma das ist [mm] 4^{n}+4
[/mm]
Ich hab echt keine Ahnung, merk ich gerade.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 So 16.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo IKEA!
Dann solltest Du Dir die  Potenzgesetze nochmal genau ansehen.
[mm] $$2^{n+1}+2^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 2*2^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 2^1*2^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 2^{1+n+1} [/mm] \ = \ [mm] 2^{n+2}$$
[/mm]
Und genau da wollten wir ja hin ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 So 16.11.2008 | | Autor: | IKEA |
Gut, soweit hab ichs jetzt kapiert. Also steht jetzt da:
[mm] 2^{n+2}-2
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 So 16.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo IKEA!
Genau! Und genau dies war ja im Induktionsschritt zu zeigen ...
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 So 16.11.2008 | | Autor: | IKEA |
Naja, nicht ganz. Auf meinem Blatt steht, dass das ganze =
[mm] 2^{n+1}-2 [/mm] sein soll und nicht [mm] 2^{n+2}-2
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 So 16.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo IKEA!
Du scheinst das Prinzip der vollständigen Induktion noch nicht verinnerlicht zu haben.
In der Induktionsbehauptung für $n+1_$ lautet es doch:
[mm] $$\summe_{i=1}^{n \red{+1}}2^i [/mm] \ = \ [mm] 2^{n+1 \red{+1}}-2 [/mm] \ = \ [mm] 2^{n+2}-2$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 So 16.11.2008 | | Autor: | IKEA |
Achso, als würde es für n=2 dann so aussehen ?
$ [mm] \summe_{i=1}^{n \red{+2}}2^i [/mm] \ = \ [mm] 2^{n+1 \red{+2}}-4 [/mm] \ = \ [mm] 2^{n+3}-4 [/mm] $
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 So 16.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo IKEA!
Nein, für $n \ = \ 2$ würde man für jedes $n_$ eine $2_$ einsetzen; und am Ende wäre kein $n_$ mehr in der Gleichung.
Du hast die Gleichung für die obere Summengrenze (allgemeines) $n+2_$ aufgestellt.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
