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| Aufgabe | Beweise, dass das Distributivgesetz in [mm] \IN [/mm] gilt !
für alle a, b, c [mm] \in \IN [/mm] gilt:
a * (b + c) = a * b + a * c |
reicht es, dass man den Beweis durch Induktion nach b oder c führt, also im Induktionsanfang IA: b = 0 oder c = 0 ist ? Im Induktionssschluss IS nimmt man dann den Nachfolger von a bzw. b.
Falls man den Beweis durch Induktion nach a führt, müsste im Induktionsanfang IA: a = 1 sein, oder ?
Reicht es, dass man eine der beiden Möglichkeiten nimmt ?
Ich hatte mich für Folgendes entschieden:
Zu beweisen ist die Aussage für alle a, b, c [mm] \in \IN.
[/mm]
Beweis durch Induktion nach c
IA Induktionsanfang: c = 0 : a * (b + 0) = a * b ( oder ab)
ab + a0 = ab + 0 = ab (es gilt die Definition der Multiplikation in [mm] \IN [/mm] und [mm] \IZ [/mm] : a * 0 = 0 für alle a [mm] \in \IZ [/mm] )
IV Induktionsvoraussetzung:
für alle a, b, c [mm] \in \IN: [/mm] a * (b + c) = a * b + a * c (oder ab + ac)
IS Induktionsschluss: c --> s ( c ) = Nachfolger von c
zeige für alle a, b, c [mm] \in \IN: [/mm] a * (b + s ( c )) = ab + as (c )
a * (b + s ( c )) = as (b + c) (a * s (b + c) ist das Produkt von a mit dem Nachfolger der Summe (b + c))
= ab + ac + a = ab + a * s ( c )
Ist der Beweis damit abgeschlossen ?
Habe meine Frage bereits im Matheraum unter Zahlentheorie gestellt, ohne dass jemand eine Antwort gab. Ich wurde lediglich auf Wikipedia hingewiesen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Gilga |
http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=316
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Schorsch56 |
Danke für den Link. Ist wohl doch besser,wenn man im Induktionsanfang IA a = 0 setzt !
Schorsch aus Hamburg
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| Aufgabe | | Beweis des Distrutivgesetzes in [mm] \IN [/mm] durch vollständige Induktion |
Wenn man beim Beweis durch Induktion auf a: a = 0 setzt, dann hieße dies ja im Induktionsanfang:
a * (b + c) = 0 * (a + b) laut Multiplikationsregel 0 * a = 0, dass auch 0 * (a + b) = 0 war, also 0 * a + 0 * b = 0 + 0 = 0
im Induktionsschluss nimmt man dann den Nachfolger von a = 0 (s ( a ) also praktisch die 1.
Ist das so richtig ?
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Hallo!
Du sollst ja die Gelichung beweisen: a*(b+c) = a*b + a*c
Beweis durch Induktion:
Sei a=0
Also folgt:
0*(b+c)=0=0*b + 0*c
[mm] \Rightarrow [/mm] Die Gleichung ist für a=0 beweisen.
Jetzt kommt der Induktionsschritt von a [mm] \to [/mm] a+1
Ersetze jetzt deine Gleichung a durch a+1. Kommst du jetzt alleine weiter?
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Schorsch56 |
wenn ich mir unter dem von Gilga genannten Link die dort angegebene Lösung anschaue, ist dort bei der Beweisführung auf die Definition der Multiplikation verwiesen worden:
(a + 1) * (b + c) = [mm] \underbrace{a+1 + a+1 +........a+1}_{(b+c) mal} [/mm] =
[mm] \underbrace{a+1 + a+1 +.....a+1}_{(b) mal} [/mm] + [mm] \underbrace{a+1 + a+1 + .... a+1}_{(c) mal} [/mm] und dann die Heranziehung der Multiplikationsdefinition
= ab + b + ac + c
= ab + ac + b + c (da ab + ac schon in der Induktionsvorausetzung steht und die Summe (b + c) zusammen mit dem Produkt a * (b + c) genau die Summe (a+1) * (b + c) ergibt, dürfte der Beweis gelungen sein !
Vielen Dank für die Tipps !
Schorsch aus Hamburg
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