Beweis vollst. Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für alle [mm] x_1,...,x_n \in ]0,\infty[, n\in\IN [/mm] mit n>1 gilt
[mm] (1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n) [/mm] > [mm] 1+\summe_{k=1}^{n} x_k [/mm] |
Hallo,
mein Lösungsversuch:
Induktionsanfang n=2
[mm] (1+x_1)(1+x_2)>1+x_1+x_2
[/mm]
[mm] \gdw 1+x_2+x_1+x_1*x_2 [/mm] > [mm] x_1+x_2
[/mm]
Induktionsschritt n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] (1+x_1)(1+x_2)..(1+x_{n+1})>1+\summe_{k=1}^{n+1}x_k
[/mm]
[mm] \gdw (1+x_1)(1+x_2)..(1+x_{n+1})>1+\summe_{k=1}^{n}x_k+x_{n+1}
[/mm]
Wie gehe ich jetzt weiter?
Danke,
Anna
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> Für alle [mm]x_1,...,x_n \in ]0,\infty[, n\in\IN[/mm] mit n>1 gilt
> [mm](1+x_1)(1+x_2)...(1+x_n)[/mm] > [mm]1+\summe_{k=1}^{n} x_k[/mm]
> Hallo,
>
> mein Lösungsversuch:
Hallo,
spendiere ein kleines bißchen Text, das macht es Dir selbst auch leichter.
>
> Induktionsanfang n=2
Zu zeigen:
> [mm](1+x_1)(1+x_2)>1+x_1+x_2[/mm]
Es ist
> [mm](1+x_1)(1+x_2)>1+x_1+x_2[/mm]
=
> [mm]1+x_2+x_1+x_1*x_2[/mm] > [mm] \green{1+}[/mm] [mm]x_1+x_2[/mm]
>
> Induktionsschritt n [mm]\to[/mm] n+1
Zu zeigen:
> [mm](1+x_1)(1+x_2)..(1+x_{n+1})>1+\summe_{k=1}^{n+1}x_k[/mm]
> [mm]\gdw (1+x_1)(1+x_2)..(1+x_{n+1})>1+\summe_{k=1}^{n}x_k+x_{n+1}[/mm]
>
> Wie gehe ich jetzt weiter?
Jetzt fängst Du richtig an:
Es ist [mm] (1+x_1)(1+x_2)..(1+x_n)(1+x_{n+1}) [/mm] >( [mm]1+\summe_{k=1}^{n} x_k[/mm][mm] )*(1+x_{n+1}) [/mm] =...
und nun weiter. Ausrechnen, abschätzen.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
Induktionsschritt n [mm]\to[/mm] n+1
Zu zeigen:
[mm](1+x_1)(1+x_2)..(1+x_{n+1})>1+\summe_{k=1}^{n+1}x_k[/mm]
[mm]\gdw (1+x_1)(1+x_2)..(1+x_{n+1})>1+\summe_{k=1}^{n}x_k+x_{n+1}[/mm]
[mm](1+x_1)(1+x_2)..(1+x_n)(1+x_{n+1})[/mm] >( [mm]1+\summe_{k=1}^{n} x_k[/mm][mm] )*(1+x_{n+1})[/mm]
[mm] =1+x_{n+1}+\summe_{k=1}^{n}x_k [/mm] + [mm] x_{n+1}*\summe_{k=1}^{n}x_k
[/mm]
[mm] =1+\summe_{k=1}^{n+1}x_k [/mm] + [mm] x_{n+1}*\summe_{k=1}^{n}x_k
[/mm]
[mm] >1+\summe_{k=1}^{n+1}x_k
[/mm]
da [mm] x_{n+1}*\summe_{k=1}^{n}x_k [/mm] wegen [mm] 0
Ist das so richtig?
Danke,
Anna
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> da [mm]x_{n+1}*\summe_{k=1}^{n}x_k[/mm] wegen [mm]0und für alle n>1.
>
> Ist das so richtig?
Hallo,
ja, so ist es richtig.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:03 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Angela,
super. Danke.
Vielleicht doch noch eins, um zu schauen, ob ich es so richtig kapiert habe:
Durch vollständige Induktion ist zu beweisen:
Für alle [mm] x_1,..,x_n\in]0,1[, n\in\IN [/mm] mit n>1 gilt
[mm] (1-x_1)(1-x_2)..(1-x_n)>1 [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{n}x_k
[/mm]
Induktionsanfang n=2
Zu zeigen:
[mm] (1-x_1)(1-x_2) [/mm] > 1 - [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2
[/mm]
Es ist
[mm] (1-x_1)(1-x_2) [/mm] > 1 - [mm] \summe_{k=1}^{2}x_k
[/mm]
[mm] \gdw (1-x_1)(1-x_2)>1 -x_1 +x_2
[/mm]
Induktionsschritt n [mm] \to [/mm] n+1
Zu zeigen:
[mm] (1-x_1)(1-x_2)..(1-x_{n+1})>1-\summe_{k=1}^{n+1}x_k
[/mm]
[mm] \gdw (1-x_1)(1-x_2)..(1-x_{n+1})>1-\summe_{k=1}^{n}x_k [/mm] + [mm] x_{n+1}
[/mm]
Mit IV gilt
[mm] (1-x_1)(1-x_2)..(1-x_{n+1})>(1-\summe_{k=1}^{n}x_k)*(1-x_{n+1})
[/mm]
[mm] =1-x_{n+1}-\summe_{k=1}^{n}x_k+x_{n+1}*\summe_{k=1}^{n}x_k
[/mm]
[mm] =1-\summe_{k=1}^{n+1}x_k+x_{n+1}*\summe_{k=1}^{n}x_k
[/mm]
[mm] >1-\summe_{k=1}^{n+1}x_k
[/mm]
da [mm] x_{n+1}*\summe_{k=1}^{n}x_k [/mm] > 0 wegen 0<x<1 und n>1
Ist der Beweis so in Ordnung?
Danke,
Anna
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:43 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
> Induktionsanfang n=2
> Zu zeigen:
> [mm](1-x_1)(1-x_2)[/mm] > 1 - [mm]x_1[/mm] + [mm]x_2[/mm]
>
> Es ist
> [mm](1-x_1)(1-x_2)[/mm] > 1 - [mm]\summe_{k=1}^{2}x_k[/mm]
> [mm]\gdw (1-x_1)(1-x_2)>1 -x_1 +x_2[/mm]
Zum einen musst Du die linke Seite auch mal ausmultiplizieren, um überhaupt die Ungleichung überprüfen zu können.
Zum anderen musst Du rechts Klammern setzen:
$$1 - [mm] \summe_{k=1}^{2}x_k [/mm] \ = \ 1- \ [mm] \red{\left(} [/mm] \ [mm] x_1+x_2 [/mm] \ [mm] \red{\right)} [/mm] \ = \ [mm] 1-x_1-x_2 [/mm] $$
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:40 Mo 21.04.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Loddar,
vielen Dank! Die linke Seite hatte ich eben nur vergessen auszumultiplizieren.
Hatte ich ja beim anderen Beispiel gemacht.
Gruß,
Anna
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