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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:20 Do 05.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Sei I ein Ideal in R[X] und sei [mm] d\ge [/mm] 0 eine ganze Zahl. Dann ist die Menge
[mm] L_d(I):=\{r\in R: \exists f=a_0+a_1X+...+a_dX^d\in I \text{ mit } r=a_d\} [/mm]
ein Ideal in R. |
Nabend Leute,
wir haben heut Morgen obige Menge bzw. obiges Ideal in einem Beweis verwendet. Allerdings kann ich mit der Menge nich wirklich was anfangen. Könnt mir vielleicht jemand von euch die Menge anhand eines vorgegeben Ideals erklären. Uns wurde nahe gelegt sich das ganze mal anschaulich klar zu machen mit dem Ideal [mm] I:=<1+6X+2X^2>. [/mm] Aber irgendwie wirds durch das I auch nich anschaulicher bei mir. Also wäre cht klasse, wenn sich da jemand meldet und mir mal zeigt wie das ganze aussieht. Besten Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:54 Fr 06.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Könnt mir vielleicht jemand das ganze an nem ganz einfachen Ideal wie zum Beispiel I:=<X> klar machen? Des wär echt klasse.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 So 08.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Könnt mir vielleicht jemand das ganze an nem ganz
> einfachen Ideal wie zum Beispiel I:=<X> klar machen? Des
> wär echt klasse.
Ich schreib dir mal das Ergebnis hin, wie man darauf kommt musst du dir selber ueberlegen (geht genauso wie ich in der anderen Antwort beschrieben hab).
Es ist [mm] $L_0(I) [/mm] = 0$ und [mm] $L_d(I) [/mm] = R$ fuer $d > 0$.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Fr 06.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Die Menge [mm] $L_d(I)$ [/mm] ist einfach die Menge der Leitkoeffizienten der Polynome aus [mm] $I\subset [/mm] R[x]$ mit Grad $d$. Hast du dir überlegt, warum dies tatsächlich ein Ideal ist?
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Fr 06.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hey pelzig,
ja ich hab mich in der literatur mal umgesehn und da stand auch warum das Ding überhaupt an Ideal ist. Das hab ich verstanden, allerdings fehlt mir imme rnoch an Beispiel für die Menge. Wär dir echt dankbar, wenn du mal schnell anhand von nem einfachen Ideal zeigst wie man davon dann auf die Menge [mm] L_d(I) [/mm] kommt. Zum Beispiel sei I=<2X+1>, dann ist [mm] L_d(I)=??
[/mm]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:30 Sa 07.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Kann denn niemand zumindest ein ganz triviales Beispiel geben? ich will nur verstehen wie die Menge aussieht und gegebenenfalls selbst eine Menge [mm] L_d(I) [/mm] anhand eines vorgegebenen Ideals I bestimmen. Wär echt toll. Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Sa 07.11.2009 | | Autor: | pelzig |
Forsche doch mal selbst... für triviale Beispiele betrachte [mm] $I\in\{\mathcal{R},(0)\}$ [/mm] oder $d=0$. Nur so nebenbei: Nicht alles was man definieren kann, muss man sich auch vorstellen oder gar explizit hinschreiben können. Was Mathematiker auszeichnet ist, dass sie sich davon nicht abschrecken lassen.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Sa 07.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ja ich hab mich in der literatur mal umgesehn und da stand
> auch warum das Ding überhaupt an Ideal ist. Das hab ich
> verstanden,
Gut, das sollte auch nicht so schwer sein :)
> allerdings fehlt mir imme rnoch an Beispiel
> für die Menge. Wär dir echt dankbar, wenn du mal schnell
> anhand von nem einfachen Ideal zeigst wie man davon dann
> auf die Menge [mm]L_d(I)[/mm] kommt. Zum Beispiel sei I=<2X+1>, dann
> ist [mm]L_d(I)=??[/mm]
Und der Ring ist hier $R = [mm] \IZ$? [/mm] Sowas musst du dabeischreiben, das ist wichtig.
Sei nun $R = [mm] \IZ$ [/mm] und $I = [mm] \langle [/mm] 2 X + 1 [mm] \rangle$. [/mm] Wenn $f = [mm] a_n X^n [/mm] + [mm] \sum_{i=0}^{n-1} a_i X^i$ [/mm] ist, dann ist $f [mm] \cdot [/mm] (2 X + 1) = 2 [mm] a_n X^{n+1} [/mm] + [mm] \dots$ [/mm] (Terme niedriger Ordnung). Sprich: [mm] $L_d(I) [/mm] = [mm] \{ 2 z \mid z \in \IZ \}$ [/mm] fuer $d [mm] \ge [/mm] 1$, und [mm] $L_0(I) [/mm] = 0$ (da es kein Polynom 0-ten Grades in $I$ gibt).
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 So 08.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hey felix vielen Dank für die Anworten.
Also, wenn ich das jetz an einem anderen Beispiel probier, sagen wir z.B.
[mm] I:=<2X^2+6X+1> [/mm] dann sieht die Menge [mm] L_d(I) [/mm] so aus:
[mm] L_d(I)=0 [/mm] für d=0 und [mm] L_d(I)=\{ 2 z \mid z \in \IZ \} [/mm] für [mm] d\ge1
[/mm]
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:03 So 08.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hey felix vielen Dank für die Anworten.
> Also, wenn ich das jetz an einem anderen Beispiel probier,
> sagen wir z.B.
> [mm]I:=<2X^2+6X+1>[/mm] dann sieht die Menge [mm]L_d(I)[/mm] so aus:
>
> [mm]L_d(I)=0[/mm] für d=0 und [mm]L_d(I)=\{ 2 z \mid z \in \IZ \}[/mm] für
> [mm]d\ge1[/mm]
Fuer $d [mm] \ge [/mm] 2$ stimmt das, aber fuer $d = 1$ nicht. Du hast [mm] $L_1(I) [/mm] = 0$. (In $I$ gibt es keine Polynome von Grad 1.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:18 So 08.11.2009 | | Autor: | kegel53 |
Okay alles klar dank dir.
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