Beweis verdopplungsfunktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi!
Ich habe mal wieder ein problem, welches ich leider nicht alleine lösen kann und ansätze sind bisher auch nicht vorhanden, naja hier mal die aufgabenstellung!
BEWEISE:
verläuft ein exponentieller wachstumsprozess nach dem gesetz [mm] N(t)=N_{0}*e^{k*t}, [/mm] so wird für eine verdopplung stets die selbe zeitspanne benötigt, nämlich die verdopplungszeit [mm] t_v=ln2/k
[/mm]
ich habe leider keinen eigenen ansatz bisher gefunden und die log gesetzte helfen mir irgendwie auch nicht so richtig weiter...
|
|
| |
|
Hi, Christian,
wie wär's damit:
N(t) = [mm] 2*N_{0}
[/mm]
oder noch allgemeiner:
[mm] N(t_{2}) [/mm] = [mm] 2*N(t_{1})
[/mm]
Aus letzterem folgt:
[mm] N_{0}*e^{k*t_{2}} [/mm] = [mm] 2*N_{0}*e^{k*t_{1}} [/mm]
Gekürzt durch [mm] N_{0} [/mm] kriegt man:
[mm] e^{k*t_{2}} [/mm] = [mm] 2*e^{k*t_{1}} [/mm]
oder:
[mm] e^{k*t_{2}-k*t_{1}} [/mm] = 2
Daraus wiederum:
[mm] k*t_{2}-k*t_{1} [/mm] = ln(2)
oder: [mm] t_{2} [/mm] - [mm] t_{1} [/mm] = [mm] \bruch{ln(2)}{k}
[/mm]
Also: Das gewünschte Ergebnis!
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
uiui ich glaube ich bin ein bisschen überfordert =) also der mittelteil ist verständlich, das sind ja recht einleuchtende umformungen aber ich habe die ersten 2 gleichungen nicht so ganz verstanden und was man dann aus der letzten schließen kann? wäre super wenn du mir das erklären könntest :)
|
|
|
| |
|
Hi, Christian,
also: Aus dem ersten Vorschlag (N(t) = [mm] 2*N_{0}) [/mm] könntest die Zeit t berechnen, nach der sich der Anfangsbestand [mm] N_{0} [/mm] genau verdoppelt hat: Der einfachere Rechenweg, aber: Wenn man's genau nimmt löst er die Aufgabe nur unvollständig.
Drum die Alternative: Gefragt ist ja eigentlich ein Beweis dafür, dass die Verdoppelungszeit, also die Zeitdifferenz, zwischen der sich der jeweilige Bestand genau verdoppelt, immer konstant bleibt, und zwar eben ln(2)/k.
Ich hab' die eine Zeit [mm] t_{1} [/mm] genannt und die Zeit, nachdem sich der doppelte Bestand ergibt, [mm] t_{2}.
[/mm]
Daraus ergibt sich der Ansatz:
Zur Zeit [mm] t_{2} [/mm] ist der Bestand [mm] N_{0}*e^{k*t_{2}}
[/mm]
Dieser Bestand soll nun wiederum doppelt (also 2 mal) so groß sein wie der Bestand zum Zeitpunkt [mm] t_{1}:
[/mm]
[mm] N_{0}*e^{k*t_{2}} [/mm] = [mm] 2*N_{0}*e^{k*t_{1}} [/mm]
Den Rest der Rechnung hast Du ja laut Deiner Mitteilung verstanden.
Nun zum Ergebnis:
[mm] t_{2} [/mm] - [mm] t_{1} [/mm] = [mm] \bruch{ln(2)}{k}
[/mm]
Zur Erinnerung: Der Zeitpunkt [mm] t_{2} [/mm] soll derjenige sein, zu dem sich der Bestand vom Zeitpunkt [mm] t_{1} [/mm] gerade verdoppelt hat (siehe Ansatz!).
Und nun kommt also raus, dass die Differenz zwischen zwei solchen (beliebig gewählten!) Zeitpunkten konstant ist, und zwar [mm] \bruch{ln(2)}{k}.
[/mm]
Nun klarer?
mfG!
Zwerglein
|
|
|
| |
|
vielen dank!! ich glaube ich habe es soweit verstanden muss nur nochmal wegen der letzten zeile nachdenken aber ich denke mal das bekomme ich noch alleine hin =) DANKE
|
|
|
|
