Beweis symmetrische Differenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Didi |
Hallo,
Die symmetrische Differenz zweier Mengen A, B ist definiert durch:
A [mm] \Delta [/mm] B = (A \ B) [mm] \cup [/mm] (B \ A)
Ich soll jetzt beweisen:
1.) A [mm] \cap [/mm] (B [mm] \Delta [/mm] C) = (A [mm] \cap [/mm] A) [mm] \Delta [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C)
2. ) A [mm] \Delta [/mm] (B [mm] \Delta [/mm] C) = (A [mm] \Delta [/mm] B) [mm] \Delta [/mm] C
Ich hab erst mal versucht das umzuschreiben:
1.) A [mm] \cap [/mm] ((B \ C) [mm] \cap [/mm] (C \ A)) = (A [mm] \cap [/mm] B) \ (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] C) \ (A [mm] \cap [/mm] B)
2.) A \ ((B \ C) [mm] \cup [/mm] (C \ A)) [mm] \cup [/mm] (B \ C) [mm] \cup [/mm] (C \ A) \ A = ((A \ B) [mm] \cup [/mm] (B \ A)) \ C [mm] \cup [/mm] C \ ((A \ B) [mm] \cup [/mm] (B \ A))
Hoffe ich hab' mich nicht vertippt. Ich würde erst mal gerne wissen, ob meine Umformung so überhaupt stimmt. Nicht, dass ich anfange das zu beweisen zu versuchen und dann stimmt meine Formel schon gar nicht.
Danke.
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Hallo Didi!
> Die symmetrische Differenz zweier Mengen A, B ist definiert
> durch:
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> A [mm]\Delta[/mm] B = (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A)
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> Ich soll jetzt beweisen:
>
> 1.) A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\Delta[/mm] C) = (A [mm]\cap[/mm] A) [mm]\Delta[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
>
> 2. ) A [mm]\Delta[/mm] (B [mm]\Delta[/mm] C) = (A [mm]\Delta[/mm] B) [mm]\Delta[/mm] C
>
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> Ich hab erst mal versucht das umzuschreiben:
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> 1.) A [mm]\cap[/mm] ((B \ C) [mm]\cap[/mm] (C \ A)) = (A [mm]\cap[/mm] B) \ (A [mm]\cap[/mm] C)
> [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C) \ (A [mm]\cap[/mm] B)
>
> 2.) A \ ((B \ C) [mm]\cup[/mm] (C \ A)) [mm]\cup[/mm] (B \ C) [mm]\cup[/mm] (C \ A) \
> A = ((A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A)) \ C [mm]\cup[/mm] C \ ((A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \
> A))
>
> Hoffe ich hab' mich nicht vertippt. Ich würde erst mal
> gerne wissen, ob meine Umformung so überhaupt stimmt.
> Nicht, dass ich anfange das zu beweisen zu versuchen und
> dann stimmt meine Formel schon gar nicht.
Ehrlich gesagt, weiß ich nicht, was du hier gemacht hast, bzw. wie du nun weiter vorgehen möchtest. Ich würde erstmal die linke Seite so schreiben, dass das [mm] \Delta [/mm] verschwindet (also einfach die Definition der symmetrischen Differenz einsetzen), dann das Gleiche vielleicht schon mal bei der rechten Seite und dann kannst du dir ein beliebiges x nehmen, dass in der linken Seite liegt, daraus kannst du dann folgern, worin es noch liegt, und schließlich müsstest du auf die rechte Seite kommen.
Also mit folgern meine ich, wenn x im Schnitt zweier Mengen liegt, dann liegt es ja sowohl in der einen als auch in der anderen Menge usw.. Falls du verstehst, was ich meine?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:16 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Didi |
Ja, mit dem x usw. wollte ich dann auch weiter machen. Hab mich aber ehrlich gesagt auch schon gefragt, wie das da gehen soll. Auf "meinen" Ausdruck bin ich gekommen indem ich eingesetzt habe (zumindest dachte ich, dass ich das gemacht hätte). Wie setze ich das denn sonst ein?
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Hallo nochmal!
> Hallo,
> A [mm]\Delta[/mm] B = (A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A)
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> Ich soll jetzt beweisen:
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> 1.) A [mm]\cap[/mm] (B [mm]\Delta[/mm] C) = (A [mm]\cap[/mm] A) [mm]\Delta[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C)
>
> 2. ) A [mm]\Delta[/mm] (B [mm]\Delta[/mm] C) = (A [mm]\Delta[/mm] B) [mm]\Delta[/mm] C
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>
> Ich hab erst mal versucht das umzuschreiben:
>
> 1.) A [mm]\cap[/mm] ((B \ C) [mm]\cap[/mm] (C \ A)) = (A [mm]\cap[/mm] B) \ (A [mm]\cap[/mm] C)
> [mm]\cup[/mm] (A [mm]\cap[/mm] C) \ (A [mm]\cap[/mm] B)
Also, anscheinend hast du dich nur etwas vertan (vielleicht auch nur vertippt...).
Es müsste heißen:
[mm] A\cap(B\Delta C)=A\cap[(B\backslash{C})\cup(C\backslash{B})]
[/mm]
Und bei der rechten Seite hast du dich wahrscheinlich in der Aufgabenstellung vertippt, oder? Da müsste doch wohl [mm] (A\cap [/mm] B) stehen, oder?
> 2.) A \ ((B \ C) [mm]\cup[/mm] (C \ A)) [mm]\cup[/mm] (B \ C) [mm]\cup[/mm] (C \ A) \
> A = ((A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \ A)) \ C [mm]\cup[/mm] C \ ((A \ B) [mm]\cup[/mm] (B \
> A))
Den Teil hier gucke ich mir vielleicht morgen mal an - sorry, dafür ist es mir jetzt zu spät.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Bastiane
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