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Hallo zusammen
Muss folgende Aufgabe lösen:
Es sei [mm] \lambda \in (0,\infty) [/mm] und M,N [mm] \subset \IR, [/mm] so dass für jedes m [mm] \in [/mm] M ein n [mm] \in [/mm] N existiert mit n [mm] \ge [/mm] m. Zeigen Sie, dass folgendes gilt:
a) sup M [mm] \le [/mm] sup N
b) [mm] sup{\lambda*m: m \in M} [/mm] = [mm] \lambda [/mm] sup M
Zu a habe ich mir folgendes überlegt:
z.z.: [mm] \forall [/mm] m [mm] \in [/mm] M [mm] \exists [/mm] n [mm] \in [/mm] N: m [mm] \le [/mm] n [mm] \Rightarrow [/mm] sup M [mm] \le [/mm] sup N
Definitionen:
1) [mm] s_M \in [/mm] K Supremum von M [mm] \gdw [/mm]
i) [mm] \forall [/mm] m [mm] \in [/mm] M: m [mm] \le s_M
[/mm]
ii) [mm] \forall [/mm] m [mm] \in [/mm] M: m [mm] \le s_M' \Rightarrow s_M' \ge s_M
[/mm]
2) [mm] s_N \in [/mm] K Supremum von N [mm] \gdw [/mm]
i) [mm] \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] N: n [mm] \le s_N
[/mm]
ii) [mm] \forall [/mm] n [mm] \in [/mm] N: m [mm] \le s_N' \Rightarrow s_N' \ge s_N
[/mm]
Nun könnte man ja sagen es gibt zwei Fälle:
Fall 1: [mm] m\le n\le s_M [/mm] Diesen Fall kann es aber wegen 1ii) gar nicht geben.
Fall 2: m [mm] \le s_M \le [/mm] n [mm] \le s_N [/mm] (nach 2i)) [mm] \Rightarrow [/mm] sup M [mm] \le [/mm] sup N [mm] \Box
[/mm]
Kann ich das so zeigen?
Bei b sollte ich wieder einen Tipp von euch haben!?
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Di 15.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen
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> Muss folgende Aufgabe lösen:
> Es sei [mm]\lambda \in (0,\infty)[/mm] und M,N [mm]\subset \IR,[/mm] so dass
> für jedes m [mm]\in[/mm] M ein n [mm]\in[/mm] N existiert mit n [mm]\ge[/mm] m.
> Zeigen Sie, dass folgendes gilt:
> a) sup M [mm]\le[/mm] sup N
> b) [mm]sup{\lambda*m: m \in M}[/mm] = [mm]\lambda[/mm] sup M
Aber nur für [mm] \lambda \ge [/mm] 0 !!!
>
> Zu a habe ich mir folgendes überlegt:
> z.z.: [mm]\forall[/mm] m [mm]\in[/mm] M [mm]\exists[/mm] n [mm]\in[/mm] N: m [mm]\le[/mm] n [mm]\Rightarrow[/mm]
> sup M [mm]\le[/mm] sup N
> Definitionen:
> 1) [mm]s_M \in[/mm] K Supremum von M [mm]\gdw[/mm]
> i) [mm]\forall[/mm] m [mm]\in[/mm] M: m [mm]\le s_M[/mm]
> ii) [mm]\forall[/mm] m [mm]\in[/mm] M: m [mm]\le s_M' \Rightarrow s_M' \ge s_M[/mm]
>
> 2) [mm]s_N \in[/mm] K Supremum von N [mm]\gdw[/mm]
> i) [mm]\forall[/mm] n [mm]\in[/mm] N: n [mm]\le s_N[/mm]
> ii) [mm]\forall[/mm] n [mm]\in[/mm] N: m [mm]\le s_N' \Rightarrow s_N' \ge s_N[/mm]
>
> Nun könnte man ja sagen es gibt zwei Fälle:
> Fall 1: [mm]m\le n\le s_M[/mm] Diesen Fall kann es aber wegen 1ii)
> gar nicht geben.
Unfug ! Im Falle M=N geht das schon !
> Fall 2: m [mm]\le s_M \le[/mm] n [mm]\le s_N[/mm] (nach 2i)) [mm]\Rightarrow[/mm] sup
> M [mm]\le[/mm] sup N [mm]\Box[/mm]
?????
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> Kann ich das so zeigen?
Nein.
Nim an, es wäre supN<supM.
Dann ex. ein m [mm] \in [/mm] M mit supN<m (warum ?)
Zu m gibt es nach Vor. ein n [mm] \in [/mm] N mit n [mm] \ge [/mm] m.
So jetzt zaubere Du einen Widerspruch hervor.
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> Bei b sollte ich wieder einen Tipp von euch haben!?
Probiers doch mal selber !
FRED
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> Liebe Grüsse
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