Beweis per Summenzeichen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:53 Sa 03.11.2012 | | Autor: | blck |
| Aufgabe | Beweisen Sie
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] (2k-1) = [mm] n^2
[/mm]
durch Hantieren mit dem Summenzeichen |
Hallo,
ich habe die Aufgabe schon per vollständiger Induktion bewiesen. Nun soll ich auch nachweisen, dass das stimmt, indem ich mit dem Summenzeichen hantiere.
Meine Idee war jetzt folgende:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] (2k-1) = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] (2k-1) + (2(n+1)-1) = [mm] n^2
[/mm]
Dann kämne ich aber auf folgendes:
2n+1 = 4n = [mm] n^2
[/mm]
Das haut ja nun wirklich nicht hin. Zumindest für den Teil vorne...
Wo liegt mein Denkfehler?
MfG blck
|
|
| |
|
> Beweisen Sie
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] (2k-1) = [mm]n^2[/mm]
>
> durch Hantieren mit dem Summenzeichen
> Hallo,
> ich habe die Aufgabe schon per vollständiger Induktion
> bewiesen. Nun soll ich auch nachweisen, dass das stimmt,
> indem ich mit dem Summenzeichen hantiere.
> Meine Idee war jetzt folgende:
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] (2k-1) = [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] (2k-1) + (2(n+1)-1) = [mm] \red{n^2}?
[/mm]
Hallo,
wie kommst Du auf das rotmarkierte [mm] n^2?
[/mm]
Warum sollte [mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1) [/mm] dasselbe ergeben wie [mm] \summe_{k=1}^{n+1}(2k-1)?
[/mm]
Mit "hantieren" ist wohl dies gemeint:
[mm] \summe_{k=1}^{n}(2k-1) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}2k-\summe_{k=1}^{n}1= [/mm] ...
Ich denke, daß Du darauf zurückgreifen kannst, daß [mm] \summe_{k=1}^{n}k=\bruch{n(n+1)}{2} [/mm] bereits gezeigt wurde.
LG Angela
> Dann kämne ich aber auf folgendes:
> 2n+1 = 4n = [mm]n^2[/mm]
>
> Das haut ja nun wirklich nicht hin. Zumindest für den Teil
> vorne...
> Wo liegt mein Denkfehler?
>
> MfG blck
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:50 Sa 03.11.2012 | | Autor: | blck |
Hallo,
das [mm] n^2 [/mm] stand so überzeugend in der Aufgabe :D
Aber jetzt weiß ich leider nicht mehr wie ich es dann machen sollte, klar ich könnt jetzt für für k dir formel einsetzen, nur wie dann weiter?
MfG blck
|
|
|
| |
|
> Hallo,
> das [mm]n^2[/mm] stand so überzeugend in der Aufgabe :D
> Aber jetzt weiß ich leider nicht mehr wie ich es dann
> machen sollte, klar ich könnt jetzt für für k dir formel
> einsetzen, nur wie dann weiter?
Hallo,
mir ist nicht klar, ob Du jetzt schon weitergemacht hast oder nicht.
Ich hatte doch den Anfang gemacht.
Hattet Ihr denn die Formel?
Wenn ja: was steht nun da?
LG Angela
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Sa 03.11.2012 | | Autor: | blck |
Hallo,
ich ahtte noch gar nichts gemacht. Hab mich vllt. etwas unklar ausgedrückt. Ich weiß nicht wie ich nach deinem Anfang weiter machen muss.
Danke für die schnelle Antwort,
blck
|
|
|
| |
|
Hallo,
welche Regeln fürs Rechnen mit Summen kennst Du denn?
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 So 04.11.2012 | | Autor: | blck |
Hallo,
irgendwie steh ich auf dem Schlauch. Klar weiß ich wie man mit Summen rechnet. Was ich jetzt machen würde wäre zu sagen ok 2k = n(n+1), d.h [mm] n^2 [/mm] + n und dann [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] 1 davon abziehen. Nur dann steht da [mm] n^2 [/mm] + n - 1 und das hilft mir nicht wirklich weiter. Oder steht aus der zweiten Summe dort gar keine 1 sondern ein n? Weil dann wär es ja gelöst...
Danke,
blck
|
|
|
| |
|
Hallo blck,
Du hast da einen Denkfehler.
Es ist [mm] \summe_{i=1}^{n}1=n
[/mm]
Da wird halt n-mal die 1 aufaddiert.
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 So 04.11.2012 | | Autor: | blck |
Hallo,
ja irgendwie blöd :D
Danke jetzt ists gelöst.
Schönen Sonntag noch!
|
|
|
|
