Beweis orthogonale Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:12 Sa 04.06.2011 | | Autor: | shadee |
| Aufgabe | | Folgt aus A invertierbar und det(A) = 1, dass A orthogonal ist? |
Aus A invertierbar folgt, dass A [mm] \in [/mm] GL(n,k). Aus det(A) = 1 folgt, dass A [mm] \in [/mm] O(n) [mm] \subseteq [/mm] GL(n,k). O(n) ist die Menge aller Orthogonalen Matrizen. Daraus folgt, dass A orthogonal ist.
Kann ich das so als mathematischen Beweis benutzen? Oder muss ich wirklich allgemein zeigen, dass dann für diese Matrix gilt A'A = [mm] I_n
[/mm]
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> Folgt aus A invertierbar und det(A) = 1, dass A orthogonal
> ist?
> Aus A invertierbar folgt, dass A [mm]\in[/mm] GL(n,k).
versteh ich
> Aus det(A) =
> 1 folgt, dass A [mm]\in[/mm] O(n) [mm]\subseteq[/mm] GL(n,k). O(n) ist die
versteh ich nicht. Es folgt lediglich [mm] $A\in SL_n(k)$ [/mm] (Die spezielle lineare Gruppe)
> Menge aller Orthogonalen Matrizen. Daraus folgt, dass A
> orthogonal ist.
>
> Kann ich das so als mathematischen Beweis benutzen? Oder
> muss ich wirklich allgemein zeigen, dass dann für diese
> Matrix gilt A'A = [mm]I_n[/mm]
Das hättest du zeigen müssen. Man probiert jedoch meistens erst ein paar Beispiele aus. Die erste matrix mit Determinante 1, die mir grad einfällt ist:
[mm]A:=\pmat{ 1 & 4 \\
1 & 5 } [/mm]
Übrigens könntest du die Aufgabe auch so äquivalent umformulieren:
"Folgt aus A mit det(A) = 1, dass A orthogonal ist?"
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Sa 04.06.2011 | | Autor: | shadee |
"Folgt aus A mit det(A) = 1, dass A orthogonal ist?"
Ja denn aus det A = 1 folgt, dass A [mm] \in [/mm] SO(n). SO(n) = [mm] \{M|det(M) = 1\}. [/mm] Weiterhin gilt aber SO(n) [mm] \subseteq [/mm] O(n). Somit gilt aber auch A [mm] \in [/mm] O(n) und somit A ist orthogonal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:19 Sa 04.06.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> "Folgt aus A mit det(A) = 1, dass A orthogonal ist?"
>
> Ja denn aus det A = 1 folgt, dass A [mm]\in[/mm] SO(n). SO(n) =
> [mm]\{M|det(M) = 1\}[notok].[/mm] Weiterhin gilt aber SO(n) [mm]\subseteq[/mm] O(n).
> Somit gilt aber auch A [mm]\in[/mm] O(n) und somit A ist orthogonal.
Nein.
wieschoo schrieb nicht ohne Grund, dass es gut sei, erst einmal ein Beispiel zu überprüfen.
[mm] A^TA=\pmat{ 1 & 4 \\ 1 & 5 }\pmat{ 1 & 1 \\ 4 & 5 }=\pmat{ 17 & 21 \\ 21 & 26 }\neq I_2
[/mm]
Offenbar sind nicht alle Matrizen mit Determinante 1 orthogonal!
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Sa 04.06.2011 | | Autor: | shadee |
Oha. Danke bin bis jetzt immer von der Fehlannahme angegangen, dass alle Matrizen in SO(n) auch orthogonal sind. Danke für den Hinweis. Andere Frage noch:
Folgt aus A orthogonal, dass det(A) = 1. Antwort Nein. Gegenbeispiel [mm] A=\pmat{ cos (\alpha) & sin (\alpha) \\ sin (\alpha) & -cos (\alpha) }. [/mm] A'A = [mm] I_2, [/mm] aber det(A) = -1. Müsste doch diesmal stimmen oder?
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> Oha. Danke bin bis jetzt immer von der Fehlannahme
> angegangen, dass alle Matrizen in SO(n) auch orthogonal sind.
Das sind sie doch auch. Ich schreib dir nochmal zwei mögliche Definitionen hin:
O(n) [mm] :=\{A\in\IR^{n\timesn}|\, \text{A ist orthogonal}\}
[/mm]
SO(n) [mm] :=\{A\in O(n)| \det(A)=1\}
[/mm]
Aus dieser Definition kann nicht geschlussfolgert werden, dass alle quadratischen Matrizen mit Determinante 1 orthogonal sind.
> Danke für den Hinweis. Andere Frage noch:
>
> Folgt aus A orthogonal, dass det(A) = 1. Antwort Nein.
> Gegenbeispiel [mm]A=\pmat{ cos (\alpha) & sin (\alpha) \\ sin (\alpha) & -cos (\alpha) }.[/mm]
> A'A = [mm]I_2,[/mm] aber det(A) = -1. Müsste doch diesmal stimmen
> oder?
Jo, passt so.
LG
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