Beweis ohne Induktion u*v < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 Mi 06.11.2013 | | Autor: | Catman |
| Aufgabe | | Beweisen Sie ohne Induktionsargument: [mm] u\not=0 [/mm] und [mm] v\not=0 [/mm] -> [mm] u*v\not=0 [/mm] (u,v [mm] \in \IN) [/mm] |
Guten Abend zusammen,
Wenn man da jetzt annimmt, dass u*v = 0 wäre, so würde ja aus der Multiplikationsdefinition (i) a*0 = 0 folgen, dass entweder u oder v = 0 sein müsste, da aber beide ungleich 0 sind, wäre das doch schon ein Widerspruch. Kann man so argumentieren?
Gruß
Anni
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Hallo Anni,
> Beweisen Sie ohne Induktionsargument: [mm]u\not=0[/mm] und [mm]v\not=0[/mm]
> -> [mm]u*v\not=0[/mm] (u,v [mm]\in \IN)[/mm]
> Guten Abend zusammen,
>
> Wenn man da jetzt annimmt, dass u*v = 0 wäre, so würde ja
> aus der Multiplikationsdefinition (i) a*0 = 0 folgen, dass
> entweder u oder v = 0 sein müsste,
Das ist der Satz vom Nullprodukt. Darfst Du den verwenden? Sonst musst Du ihn an dieser Stelle beweisen, ist aber kein Akt. Das wesentliche Argument hast Du ja schon, außer dass das Wort "entweder" hier überflüssig ist.
> da aber beide ungleich
> 0 sind, wäre das doch schon ein Widerspruch. Kann man so
> argumentieren?
Ja, aber so reicht es noch nicht, vorwiegend wegen des "entweder". Ansonsten überleg Dir die mal die logische Negation des o.g. Satzes, dann hast Du's auch.
Grüße
reverend
PS: "Catman" klingt irgendwie männlicher als "Anni". 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:33 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Catman |
> Hallo Anni,
>
> > Beweisen Sie ohne Induktionsargument: [mm]u\not=0[/mm] und [mm]v\not=0[/mm]
> > -> [mm]u*v\not=0[/mm] (u,v [mm]\in \IN)[/mm]
> > Guten Abend zusammen,
> >
> > Wenn man da jetzt annimmt, dass u*v = 0 wäre, so würde ja
> > aus der Multiplikationsdefinition (i) a*0 = 0 folgen, dass
> > entweder u oder v = 0 sein müsste,
>
> Das ist der Satz vom Nullprodukt. Darfst Du den verwenden?
> Sonst musst Du ihn an dieser Stelle beweisen, ist aber kein
> Akt. Das wesentliche Argument hast Du ja schon, außer dass
> das Wort "entweder" hier überflüssig ist.
>
> > da aber beide ungleich
> > 0 sind, wäre das doch schon ein Widerspruch. Kann man so
> > argumentieren?
>
Hallo reverend,
Erstmal vielen Dank für deine Mühe.
Den Satz vom Nullprodukt haben wir so noch nicht bewiesen, dementsprechend denke ich nicht, dass ich ihn benutzen kann. Ich dachte es wäre logisch, dass eins von beidem Null sein muss, doch wie beweise ich das? Ich finde es irgendwie vor allem sehr schwierig solche "einfachen" Dinge zu beweisen, die eigentlich klar erscheinen.
> Ja, aber so reicht es noch nicht, vorwiegend wegen des
> "entweder". Ansonsten überleg Dir die mal die logische
> Negation des o.g. Satzes, dann hast Du's auch.
>
Schreibt man dann einfach nur, dass u oder v = 0 sein muss, oder schreibt man, dass entweder u oder v oder u und v = 0 ein müssen?
> Grüße
> reverend
>
> PS: "Catman" klingt irgendwie männlicher als "Anni".
Das stimmt ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:14 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Catman |
obige Frage ist nicht überfällig
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo Anni,
> >
> > > Beweisen Sie ohne Induktionsargument: [mm]u\not=0[/mm] und [mm]v\not=0[/mm]
> > > -> [mm]u*v\not=0[/mm] (u,v [mm]\in \IN)[/mm]
> > > Guten Abend
> zusammen,
> > >
> > > Wenn man da jetzt annimmt, dass u*v = 0 wäre, so würde ja
> > > aus der Multiplikationsdefinition (i) a*0 = 0 folgen, dass
> > > entweder u oder v = 0 sein müsste,
> >
> > Das ist der Satz vom Nullprodukt. Darfst Du den verwenden?
> > Sonst musst Du ihn an dieser Stelle beweisen, ist aber kein
> > Akt. Das wesentliche Argument hast Du ja schon, außer dass
> > das Wort "entweder" hier überflüssig ist.
> >
> > > da aber beide ungleich
> > > 0 sind, wäre das doch schon ein Widerspruch. Kann man so
> > > argumentieren?
> >
>
> Hallo reverend,
>
> Erstmal vielen Dank für deine Mühe.
> Den Satz vom Nullprodukt haben wir so noch nicht bewiesen,
> dementsprechend denke ich nicht, dass ich ihn benutzen
> kann.
nein, dann darfst Du ihn nicht verwenden. Zumal Du da zuvor eh einiges
zu zeigen hättest, denn [mm] $(\IN,*)\,$ [/mm] ist sicher kein Körper (man kann auch
"etwas weniger fordern", aber auch diese Voraussetzungen erfüllt [mm] $(\IN,\cdot)$ [/mm] nicht),
also müßtest Du vermutlich mit Einbettungsargumenten kommen...
> Ich dachte es wäre logisch, dass eins von beidem
> Null sein muss, doch wie beweise ich das? Ich finde es
> irgendwie vor allem sehr schwierig solche "einfachen" Dinge
> zu beweisen, die eigentlich klar erscheinen.
Dann frage ich mal direkt: Wie habt ihr denn [mm] $u*v\,$ [/mm] für $u,v [mm] \in \IN$ [/mm] definiert?
Ich denke nämlich, dass da schon sowas zum Tragen kommt, auf das Schadow
unten verwiesen hat:
Vielleicht
[mm] $u*v=\sum_{k=1}^u [/mm] v$?
Denn ihr habt die Multiplikation in [mm] $\IN$ [/mm] doch sicher mithilfe der Addition
in [mm] $\IN$ [/mm] definiert, oder?
Schön, aber für die Aufgabe nicht wirklich notwendig, wäre es dabei aber
dann vielleicht auch, zu wissen:
[mm] $\sum_{k=1}^u v=\sum_{\ell=1}^v u\,,$
[/mm]
also [mm] $u*v=v*u\,.$
[/mm]
Eigentlich müßten wir alles von Dir gesagt bekommen (Du brauchst ja
die Beweise nicht zu kopieren, die Aussagen reichen), was ihr bisher
über die natürlichen Zahlen zur Verfügung gestellt bekommen habt.
> > Ja, aber so reicht es noch nicht, vorwiegend wegen des
> > "entweder". Ansonsten überleg Dir die mal die logische
> > Negation des o.g. Satzes, dann hast Du's auch.
> >
> Schreibt man dann einfach nur, dass u oder v = 0 sein muss,
> oder schreibt man, dass entweder u oder v oder u und v = 0
> ein müssen?
Na, es geht doch darum:
Wenn Du sagst, aus [mm] $u*v=0\,$ [/mm] folgt entweder [mm] $u=0\,$ [/mm] oder [mm] $v=0\,,$ [/mm] so missachtest
Du die Tatsache, dass auch simultan [mm] $u=v=0\,$ [/mm] sein kann.
In der Mathematik bedeutet für zwei Aussagen [mm] $A,B\,$ [/mm] halt
$A [mm] \vee [/mm] B$ (also [mm] $A\,$ [/mm] oder [mm] $B\,$)
[/mm]
eben NICHT "entweder [mm] $A\,$ [/mm] oder [mm] $B\,$", [/mm] sondern
"(entweder [mm] $A\,$ [/mm] oder [mm] $B\,$) [/mm] oder [mm] ($A\,$ [/mm] und [mm] $B\,$)".
[/mm]
In einem Körper gilt nun:
[mm] $a*b=0\,$ $\iff$ ($a=0\,$ [/mm] oder [mm] $b=0\,$),
[/mm]
wenn Du nun aber sagst
$a*b=0$ [mm] $\iff$ [/mm] (entweder [mm] $a=0\,$ [/mm] oder [mm] $b=0\,$),
[/mm]
so ist das falsch:
Die Richtung [mm] $\Longleftarrow$ [/mm] des letzten [mm] $\iff$'s [/mm] ist zwar korrekt, aber die Richtung
[mm] $\Longrightarrow$ [/mm] stimmt nicht, weil sie hier den Fall
[mm] "$a=0\,$ [/mm] und [mm] $b=0\,$"
[/mm]
missachtet!
Gruß,
Marcel
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Hallo Anni!
Ich hoffe, ich übersehe jetzt nichts und mache es (zumindest mir ) zu einfach.
Beginne mit $u \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ und multipliziere diese Ungleichung mit $v_$ .
Dies ist zulässig, da nach Voraussetzung gilt: $v \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ .
Damit hast Du sofort das gewünschte Ergebnis.
Gruß vom
Roadrunner
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Hey Roadrunner,
du verwendest hier: Gegeben ein $a [mm] \neq [/mm] 0$ und die Gleichung $x [mm] \neq [/mm] 0$. Dann können wir auf beiden Seiten mit $a$ multiplizieren und da $a [mm] \neq [/mm] 0$ bleibt die Ungleichung erhalten, das heißt es gilt auch $ax [mm] \neq [/mm] 0$.
Das Problem dabei ist: Warum gilt das, warum erhält eine Multiplikation mit $a [mm] \neq [/mm] 0$ die Ungleichung?
Nun, das gilt, weil aus $a [mm] \neq [/mm] 0$ und $x [mm] \neq [/mm] 0$ auch $ax [mm] \neq [/mm] 0$ folgt, das heißt dein Argument verwendet (indirekt) bereits die Aussage, die gezeigt werden soll.
Allgemein sollte man bei Äquivalenzumformungen auf Ungleichungen immer sehr aufpassen, das geht schneller schief als man denken könnte.
Bei sowas ist es meist sinnvoller die Aussage umzukehren, sprich wir zeigen nicht $u,v [mm] \neq [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] uv [mm] \neq [/mm] 0$, sondern $uv = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] u=0$ oder $v=0$.
Diese beiden Aussagen sind äquivalent (was man wissen oder sich klar machen sollte), es wäre hier also wie reverend schon meinte sinnvoll diese Aussage zu zeigen.
@ Anni: Wenn du überhaupt nicht weiter kommst, kann dir ein $>$-Argument helfen.
Ist $v=1$, kriegst du das hin. Ist $v > 1$ und $u > 0$, so ist $uv > u > 0$.
Wenn du das gezeigt kriegst, bist du fertig.
Als Hinweis: $v = [mm] \summe_{i=1}^v [/mm] 1$ und Distributivgesetz. ;)
lg
Schadow
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Catman |
> Hey Roadrunner,
>
> du verwendest hier: Gegeben ein [mm]a \neq 0[/mm] und die Gleichung
> [mm]x \neq 0[/mm]. Dann können wir auf beiden Seiten mit [mm]a[/mm]
> multiplizieren und da [mm]a \neq 0[/mm] bleibt die Ungleichung
> erhalten, das heißt es gilt auch [mm]ax \neq 0[/mm].
> Das Problem
> dabei ist: Warum gilt das, warum erhält eine
> Multiplikation mit [mm]a \neq 0[/mm] die Ungleichung?
> Nun, das gilt, weil aus [mm]a \neq 0[/mm] und [mm]x \neq 0[/mm] auch [mm]ax \neq 0[/mm]
> folgt, das heißt dein Argument verwendet (indirekt)
> bereits die Aussage, die gezeigt werden soll.
>
> Allgemein sollte man bei Äquivalenzumformungen auf
> Ungleichungen immer sehr aufpassen, das geht schneller
> schief als man denken könnte.
> Bei sowas ist es meist sinnvoller die Aussage umzukehren,
> sprich wir zeigen nicht [mm]u,v \neq 0 \Rightarrow uv \neq 0[/mm],
> sondern [mm]uv = 0 \Rightarrow u=0[/mm] oder [mm]v=0[/mm].
> Diese beiden Aussagen sind äquivalent (was man wissen
> oder sich klar machen sollte), es wäre hier also wie
> reverend schon meinte sinnvoll diese Aussage zu zeigen.
>
> @ Anni: Wenn du überhaupt nicht weiter kommst, kann dir
> ein [mm]>[/mm]-Argument helfen.
> Ist [mm]v=1[/mm], kriegst du das hin. Ist [mm]v > 1[/mm] und [mm]u > 0[/mm], so ist
> [mm]uv > u > 0[/mm].
> Wenn du das gezeigt kriegst, bist du fertig.
> Als Hinweis: [mm]v = \summe_{i=1}^v 1[/mm] und Distributivgesetz.
> ;)
>
> lg
>
>
> Schadow
Hey Shadow,
Wieso ist v denn > 1? Und das mit dem Summezeichen verstehe ich nicht so ganz...
Gruß
Anni
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:33 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hey Roadrunner,
> >
> > du verwendest hier: Gegeben ein [mm]a \neq 0[/mm] und die Gleichung
> > [mm]x \neq 0[/mm]. Dann können wir auf beiden Seiten mit [mm]a[/mm]
> > multiplizieren und da [mm]a \neq 0[/mm] bleibt die Ungleichung
> > erhalten, das heißt es gilt auch [mm]ax \neq 0[/mm].
> > Das
> Problem
> > dabei ist: Warum gilt das, warum erhält eine
> > Multiplikation mit [mm]a \neq 0[/mm] die Ungleichung?
> > Nun, das gilt, weil aus [mm]a \neq 0[/mm] und [mm]x \neq 0[/mm] auch [mm]ax \neq 0[/mm]
> > folgt, das heißt dein Argument verwendet (indirekt)
> > bereits die Aussage, die gezeigt werden soll.
> >
> > Allgemein sollte man bei Äquivalenzumformungen auf
> > Ungleichungen immer sehr aufpassen, das geht schneller
> > schief als man denken könnte.
> > Bei sowas ist es meist sinnvoller die Aussage
> umzukehren,
> > sprich wir zeigen nicht [mm]u,v \neq 0 \Rightarrow uv \neq 0[/mm],
> > sondern [mm]uv = 0 \Rightarrow u=0[/mm] oder [mm]v=0[/mm].
> > Diese beiden Aussagen sind äquivalent (was man wissen
> > oder sich klar machen sollte), es wäre hier also wie
> > reverend schon meinte sinnvoll diese Aussage zu zeigen.
> >
> > @ Anni: Wenn du überhaupt nicht weiter kommst, kann dir
> > ein [mm]>[/mm]-Argument helfen.
> > Ist [mm]v=1[/mm], kriegst du das hin. Ist [mm]v > 1[/mm] und [mm]u > 0[/mm], so
> ist
> > [mm]uv > u > 0[/mm].
> > Wenn du das gezeigt kriegst, bist du
> fertig.
> > Als Hinweis: [mm]v = \summe_{i=1}^v 1[/mm] und
> Distributivgesetz.
> > ;)
> >
> > lg
> >
> >
> > Schadow
>
> Hey Shadow,
>
> Wieso ist v denn > 1?
das setzt er doch da voraus, Du sollst doch zeigen:
Unter der Annahme, dass $u > [mm] 0\,$ [/mm] sei und zudem $v > [mm] 1\,$ [/mm] sei, gilt auch $u*v > u$ $(> [mm] 0)\,.$
[/mm]
> Und das mit dem Summezeichen verstehe ich nicht so ganz...
Warum nicht?
[mm] $1=\sum_{k=1}^1 [/mm] 1$
[mm] $2=1+1=\sum_{k=1}^2 [/mm] 1$
[mm] $3=1+1+1=\sum_{k=1}^3 [/mm] 1$
[mm] $4=1+1+1+1=\sum_{k=1}^4 [/mm] 1$
.
.
.
[mm] $n=\underbrace{1+1+...+1}_{n \text{ Stück}}=\sum_{k=1}^n 1\,.$
[/mm]
Ob man das aber so verwenden darf, ist wieder die Frage (da ihr ja kein
Induktionsargument verwenden soll, und es mir so scheint, als wenn ihr
das so noch nirgends bewiesen habt - denn das Summenzeichen ist zum
einen selbst meist "irgendwie induktiv" definiert, und auch dann würde
man wohl sonst sagen:
[mm] $n=\sum_{k=1}^n [/mm] 1$ gilt, denn:
Für $n=1$ ist die Behauptung klar. Sei also $n [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $n=\sum_{k=1}^n 1\,.$ [/mm] Dann folgt
[mm] $n+1=(n)+1=\left(\sum_{k=1}^n 1\right)+1=\sum_{k=1}^{n+1}1$ [/mm] wegen Distributivität
und damit folgt die Behauptung...)
Generell: Ist $a [mm] \in \IR\,,$ [/mm] so ist
[mm] $n*a=\underbrace{a+a+...+a}_{n \text{ Stück}}=\sum_{k=1}^n \underbrace{a}_{\text{beachte: unabhängig vom Laufindex }k}$
[/mm]
P.S. Die ganze Aufgabe ist für mich insofern fragwürdig, als dass es total
unklar ist, was ihr denn an Voraussetzungen benutzen dürft. Ich kann
das Ganze einfach beweisen, indem ich nur [mm] $\IN$ [/mm] in [mm] $\IQ$ [/mm] eingebettet betrachte...
Es kann aber auch viel aufwendiger werden, wenn ihr z.B. nur die natürlichen
Zahlen mit Peano-Axiomen definiert habt und evtl. eine [mm] $<\,$-Relation [/mm] auf [mm] $\IN$
[/mm]
benutzen dürft. Auf sowas will Schadow wohl hinaus...
Du solltest also am Besten mal ergänzen, wie denn Euer aktuell (erlaubter)
Wissensstand ist!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:00 Mo 11.11.2013 | | Autor: | Catman |
> Hallo,
>
> > > Hey Roadrunner,
> > >
> > > du verwendest hier: Gegeben ein [mm]a \neq 0[/mm] und die Gleichung
> > > [mm]x \neq 0[/mm]. Dann können wir auf beiden Seiten mit [mm]a[/mm]
> > > multiplizieren und da [mm]a \neq 0[/mm] bleibt die Ungleichung
> > > erhalten, das heißt es gilt auch [mm]ax \neq 0[/mm].
> > > Das
> > Problem
> > > dabei ist: Warum gilt das, warum erhält eine
> > > Multiplikation mit [mm]a \neq 0[/mm] die Ungleichung?
> > > Nun, das gilt, weil aus [mm]a \neq 0[/mm] und [mm]x \neq 0[/mm] auch
> [mm]ax \neq 0[/mm]
> > > folgt, das heißt dein Argument verwendet (indirekt)
> > > bereits die Aussage, die gezeigt werden soll.
> > >
> > > Allgemein sollte man bei Äquivalenzumformungen auf
> > > Ungleichungen immer sehr aufpassen, das geht schneller
> > > schief als man denken könnte.
> > > Bei sowas ist es meist sinnvoller die Aussage
> > umzukehren,
> > > sprich wir zeigen nicht [mm]u,v \neq 0 \Rightarrow uv \neq 0[/mm],
> > > sondern [mm]uv = 0 \Rightarrow u=0[/mm] oder [mm]v=0[/mm].
> > > Diese beiden Aussagen sind äquivalent (was man
> wissen
> > > oder sich klar machen sollte), es wäre hier also wie
> > > reverend schon meinte sinnvoll diese Aussage zu zeigen.
> > >
> > > @ Anni: Wenn du überhaupt nicht weiter kommst, kann dir
> > > ein [mm]>[/mm]-Argument helfen.
> > > Ist [mm]v=1[/mm], kriegst du das hin. Ist [mm]v > 1[/mm] und [mm]u > 0[/mm], so
> > ist
> > > [mm]uv > u > 0[/mm].
> > > Wenn du das gezeigt kriegst, bist du
> > fertig.
> > > Als Hinweis: [mm]v = \summe_{i=1}^v 1[/mm] und
> > Distributivgesetz.
> > > ;)
> > >
> > > lg
> > >
> > >
> > > Schadow
> >
> > Hey Shadow,
> >
> > Wieso ist v denn > 1?
>
> das setzt er doch da voraus, Du sollst doch zeigen:
> Unter der Annahme, dass [mm]u > 0\,[/mm] sei und zudem [mm]v > 1\,[/mm] sei,
> gilt auch [mm]u*v > u[/mm] [mm](> 0)\,.[/mm]
>
> > Und das mit dem Summezeichen verstehe ich nicht so ganz...
>
> Warum nicht?
>
> [mm]1=\sum_{k=1}^1 1[/mm]
>
> [mm]2=1+1=\sum_{k=1}^2 1[/mm]
>
> [mm]3=1+1+1=\sum_{k=1}^3 1[/mm]
>
> [mm]4=1+1+1+1=\sum_{k=1}^4 1[/mm]
>
> .
>
> .
>
> .
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> [mm]n=\underbrace{1+1+...+1}_{n \text{ Stück}}=\sum_{k=1}^n 1\,.[/mm]
>
> Ob man das aber so verwenden darf, ist wieder die Frage (da
> ihr ja kein
> Induktionsargument verwenden soll, und es mir so scheint,
> als wenn ihr
> das so noch nirgends bewiesen habt - denn das
> Summenzeichen ist zum
> einen selbst meist "irgendwie induktiv" definiert, und
> auch dann würde
> man wohl sonst sagen:
> [mm]n=\sum_{k=1}^n 1[/mm] gilt, denn:
> Für [mm]n=1[/mm] ist die Behauptung klar. Sei also [mm]n \in \IN[/mm] mit
> [mm]n=\sum_{k=1}^n 1\,.[/mm] Dann folgt
>
> [mm]n+1=(n)+1=\left(\sum_{k=1}^n 1\right)+1=\sum_{k=1}^{n+1}1[/mm]
> wegen Distributivität
>
> und damit folgt die Behauptung...)
>
> Generell: Ist [mm]a \in \IR\,,[/mm] so ist
>
> [mm]n*a=\underbrace{a+a+...+a}_{n \text{ Stück}}=\sum_{k=1}^n \underbrace{a}_{\text{beachte: unabhängig vom Laufindex }k}[/mm]
>
> P.S. Die ganze Aufgabe ist für mich insofern fragwürdig,
> als dass es total
> unklar ist, was ihr denn an Voraussetzungen benutzen
> dürft. Ich kann
> das Ganze einfach beweisen, indem ich nur [mm]\IN[/mm] in [mm]\IQ[/mm]
> eingebettet betrachte...
> Es kann aber auch viel aufwendiger werden, wenn ihr z.B.
> nur die natürlichen
> Zahlen mit Peano-Axiomen definiert habt und evtl. eine
> [mm]<\,[/mm]-Relation auf [mm]\IN[/mm]
> benutzen dürft. Auf sowas will Schadow wohl hinaus...
> Du solltest also am Besten mal ergänzen, wie denn Euer
> aktuell (erlaubter)
> Wissensstand ist!
>
> Gruß,
> Marcel
Hey marcel,
Vielen Dank für die ganzen detaillierten Erklärungen.
In der Tat haben wir bisher die natürlichen Zahlen über die Peano Axiome definiert und in der letzten Vorlesung die kleiner/größer Relation eingeführt.
Also gemacht haben wir: Peano-Axiome und ein äquivalentes System,
Addition rekursiv definiert, Kommutativgesetz, Assoziativgesetz, Multiplikation rekursiv def., Distributivgeset, Anordnung nat. Zahlen, Def. <=, Reflexivität, Antisymmetrie, Transitivität, dann für strenge Ordnung Irreflexivität, Assymetrie, Transitivität, Trichotomie.
Gruß
Anni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Mi 13.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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