Beweis natürliche Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Mo 26.10.2009 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Bestimmen sie alle natürlichen Zahlen p [mm] \ge [/mm] 2 und q [mm] \ge [/mm] 2, für die für alle natürlichen Zahlen n [mm] \ge [/mm] 2 natürlichen Zahlen [mm] a\ge [/mm] 0 und [mm] b\ge [/mm] 0 existieren, so dass n= a*p+b*q gilt. Beweisen Sie ihre Antwort. |
Also ich hab mir zuerst gedacht ich setz da mal nen paar Zahlen ein und probiere was aus. Aber wie beweise ich dies nun, also wie gehe ich am besten ran?? DANKE!
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Wie sieht denn deine Vermutung aus bzgl p und q? Wie müssen die aussehen?
Ohne diese, wirst du kaum etwas beweisen können.
MFG;
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mo 26.10.2009 | | Autor: | durden88 |
JA ALSO P UND Q BEIDE GRÖßer 2 und habe beide gleich gesetzt, also sind gleich....
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Du behauptest also für $p=q$ und $p,q [mm] \ge [/mm] 2$ gibt es zu jedem [mm] $n\ge [/mm] 2$ a und b größer 0, so dass
$n = a*p + b*q $ ?
Dann mach mir das mal bitte für $p=q=3$ und $n=2$.
Nenne mir mal bitte a und b dazu.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Mo 26.10.2009 | | Autor: | durden88 |
Ahhh ok, also muss n auf jeden Fall größer sein als p und q? Wolltest du darauf hinaus?
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> Ahhh ok, also muss n auf jeden Fall größer sein als p und
> q? Wolltest du darauf hinaus?
Nein, als p oder q.
Du sollst ja p und q so finden, dass es ZU JEDEM [mm] $n\ge [/mm] 2$ $a,b [mm] \ge [/mm] 0$ gibt, so dass
$n = ap + bq$.
Nun überlege mal, wann du bspw. n=2 erzeugen kannst, und wann nicht?
Wann kannst du n=3 erzeugen, und wann nicht?
Wann kannst du n=4 erzeugen, und wann nicht.....
Dann kommst du auf eine Idee, wie p und q aussehen müssen.
Dann musst du nur noch beweisen, dass du damit jede Zahl [mm] $n\ge [/mm] 2$ auch erreichst.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Mo 26.10.2009 | | Autor: | durden88 |
> Nun überlege mal, wann du bspw. n=2 erzeugen kannst, und
> wann nicht?
> Wann kannst du n=3 erzeugen, und wann nicht?
> Wann kannst du n=4 erzeugen, und wann nicht.....
>
> Dann kommst du auf eine Idee, wie p und q aussehen
> müssen.
Wie wähle ich denn mein a und b?
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Steht doch in der Aufgabenstellung:
Du musst zu JEDEM n a und b finden, so dass
$n = ap + bq$ gilt.
Gibt es denn zu jedem p,q und n solche a und b, oder nicht?
Beispiel: Gibt es für $p=27, q=13, n=172$ solche a und b?
Antwort: Ja.
$a=3, b=7$ erfüllen es, denn:
$172 = 3*27 + 7*13$
Anderes Beispiel: Geht es mit diesen p und q auch für $n=14$?
Antwort: nein!
So, und nun sollst du p und q so finden, dass es ZU JEDEM n solche a und b gibt.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Mo 26.10.2009 | | Autor: | durden88 |
ja also n=2 würde z.b. nicht gehen, weil wenn a und b 1 sind müssten p und q auch 1 sein, das geht aber wegen der anfangsbedinung nicht.
n=3 geht auch nicht
n=4 würde gehen, dann wenn ich p und q 2 wähle und a,b 1.
n=5 würde auch gehen gleiche p=3 und q= 2 und a,b jeweils 1.
das spielchen könnt ich doch so weiter machen oder?
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n = 2 geht sehr wohl.
Bedenke, dass a und b auch Null sein dürfen!
Und nun nochmal 
Aber du hast ja schonmal ein Tupel gefunden, nämlich (2,3).
Nun nächster Schritt: Kannst du damit alle [mm] $n\ge [/mm] 2$ erzeugen?
Wenn ja, warum.
Wenn nicht, warum nicht.
Gibt es noch weitere Tupel?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mo 26.10.2009 | | Autor: | durden88 |
hmmm, ist das vielleicht sowas wie primfaktorzerlegung oder womit hat das zutun, hab jetzt sowas wie nen brett vorm kopf...
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Hiho,
"sowas wie" ist immer nen schlechter Ansatz..... du hattest doch nun schon eine Idee mit 2 und 3.
Mach da doch erstmal weiter.
Kannst du damit alle [mm] $n\ge [/mm] 2$ erzeugen, oder nicht?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Mo 26.10.2009 | | Autor: | durden88 |
mit n=2 ja
n=3 j
n=4 j
n=5 nein
n=6 ja
n=7 nEIN
n=8 j
n=9 j
n=10 J
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Also ich finde für 5 und 7 ebenfalls Lösungen, bspw. a=b=1 und a=2,b=1
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 Mo 26.10.2009 | | Autor: | durden88 |
hmmm, könntest du mir dann vielleicht nen weiteres tipp geben? damit ich da irgendwie nen systgem bekomme und vielleicht auch zur lösung??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:24 Mo 26.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit p=2 kriegst du ja schon alle geraden Zahlen hin. klar warum?
jetzt hast du noch q=3, wie kriegst du damit dann die ungeraden ? versuchs z.Bsp mit 11 und 13 usw. dann siehst du wies laueft.
(dass es auf mehrere Weisen geht ist egal, du musst nur eine zeigen, die immerklappt.)
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mo 26.10.2009 | | Autor: | durden88 |
Also hat das was mit den teilern von n zu tun?
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Wer sagt denn, dass das was mit den Teilern von n zu tun haben muss?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Mo 26.10.2009 | | Autor: | durden88 |
Also:
gerade * gerade = gerade zahl
ungerade*ungerade= ungerade
gerade*ungerade= gerade
sry, aber ich könnt doch tausend sachen versuchen, da bin ich morgen noch dran.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Mo 26.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Also:
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> gerade * gerade = gerade zahl
> ungerade*ungerade= ungerade
> gerade*ungerade= gerade
>
> sry, aber ich könnt doch tausend sachen versuchen, da bin
> ich morgen noch dran.
Hallo,
holen wir die Aufgabe mal runter auf Grundschulniveau.
Du hst zwei Sorten von Streichhölzern. Die einen sind 2 cm lang, die anderen sind 3 cm lang.
Welche Streckenlängen ab 2 cm (in ganzen cm) kannst du mit einem oder mehreren aneinandergereihten Hölzern legen?
Antwort:
2 cm
3 cm
2cm +2cm = 4cm
2cm +3cm = 5cm
(6 cm auch, weil an 4 cm von zwei Zeilen weiter oben 2 cm angelegt werden können.)
(7 cm auch, weil an 5 cm von zwei Zeilen weiter oben 2 cm angelegt werden können.)
...
Kannst du mit anderen Sorten von Hölzern (also nicht mit Längen von 2 cm und 3 cm)
auch alle Längen ab 2 cm legen?
Wenn ja: Kannst du dabei auf die Sorte "2 cm lang" verzichten? Kannst du dabei auf die Sorte "3 cm lang" verzichten?
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:27 Mo 26.10.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Danke 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Mo 26.10.2009 | | Autor: | durden88 |
:D ich hab das zentralabi mit 1 im LK Mathe gemacht und jetzt sowas :(
Also ich kann auf 2 und 3 nicht verzichten, weil wenn ich zum Beispiel ´´Streichhölzer´´ mit den Längen 3 und 4 nehme, kann ich schonmal die n= 2 nichtmehr legen. Sprich ich brauche ein kleinstes gemeinsamen teiler. Die 2 brauche ich für die geraden Zahlen n= 2, 4, 6,8 und die 3 für die ungeraden Zahlen wie 3,6,9,12 etc....soweit sogut
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Hallo durden,
Du hast irgendwie ein Brett vorm Kopf, aber keiner findet heraus, wie das befestigt ist - ich auch nicht.
Du brauchst entweder p oder q=2, damit Du n=2 darstellen kannst. Damit geht aber n=3 noch nicht, also muss die andere Variable (weil [mm] \ge2 [/mm] ) 3 sein. Diese beiden sind unverzichtbar, und mehr Variablen sind nicht zu vergeben.
Mögliche Lösungen sind also höchstens (p,q)=(2,3) und (p,q)=(3,2)
Sind nun damit alle n darstellbar? Es genügt ja, eine der beiden (symmetrischen) Lösungen zu untersuchen, also z.B. (p,q)=(2,3).
1.: gerade Zahlen
Für n=2 gilt: 2=1*p+0*q
Sei nun n=2k mit [mm] k\in\IN [/mm] - wie sind dann a und b zu wählen?
2.: ungerade Zahlen >1
Für n=3 gilt: 2=0*p+1*1
Sei nun n=2m+1 mit [mm] m\in\IN [/mm] - wie sind dann a und b zu wählen?
Bedürfen im Rückblick eigentlich n=2 und n=3 einer besonderen Nennung?
Für die noch offenen Schritte brauchst Du sicher nicht bis morgen früh, oder ich müsste beginnen, am Zentralabitur zu zweifeln. Das kannst Du nicht wollen.
Alles obige ist schon vorher vorgekaut worden, dies ist also nur eine Zusammenfassung, nochmal in anderen Worten. Vielleicht trifft das die richtige Holzsorte, Brettform oder Befestigungsart?
LG (langer Geduldsfaden )
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:47 Di 27.10.2009 | | Autor: | durden88 |
Also hat es doch was mit Primfaktorzerlegung zu tun oder?
Also 2,3 sind beides Primzahlen. Ich teile also n egal welches immer in seine kleinsten Primzahlen auf und da 2,3 die kleinsten Primzahlen sind, sind diese unverzichtbar. Richtig?
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Hallo durden,
nein, es hat nichts mit Primfaktorzerlegung zu tun. Es geht um Summanden und Logik.
Wenn Du n=109 darstellen willst, hast Du eine Primzahl vor Dir. Trotzdem stellst Du sie aus Zweien und Dreien dar. Es gibt dafür genau 35 verschiedene Möglichkeiten.
Wenn gefordert wäre, mit [mm] p,q\ge{3} [/mm] alle Zahlen [mm] n\ge{6} [/mm] darzustellen, gäbe es z.B. eine weitere Möglichkeit, nämlich (p,q)=(3,4):
6=2*3+0*4
7=1*3+1*4
8=0*3+2*4
9=3*3+0*4
10=2*3+1*4
11=1*3+2*4
...und die 12 ist dann die erste Zahl mit mehr als einer Darstellung.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:28 Di 27.10.2009 | | Autor: | durden88 |
ok letztes nun, dann gebe ich mich geschlagen.
ich habe nun viele zahlen ausgedacht, habe versucht sie mit 2,3 darzustellen und es hat geklappt, jedes mal.
> Wenn Du n=109 darstellen willst, hast Du eine Primzahl vor
> Dir. Trotzdem stellst Du sie aus Zweien und Dreien dar. Es
> gibt dafür genau 35 verschiedene Möglichkeiten.
Wie kommst du denn auf die 35 Möglichkeiten? Vielleicht hilft es mir einfach mal die Lösung zu hören, ich fühl mich wie ein Dummkopf :(
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Hallo durden,
> ok letztes nun, dann gebe ich mich geschlagen.
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> ich habe nun viele zahlen ausgedacht, habe versucht sie mit
> 2,3 darzustellen und es hat geklappt, jedes mal.
Hmpf. Du sollst nicht probieren, Du sollst zweifelsfrei nachweisen, dass alle möglichen Zahlen so dargestellt werden können. Vielleicht entgeht Dir nämlich beim Probieren die Zahl 2.717.824.936.111, und gerade die geht dann nicht. Wär doch blöd.
> > Wenn Du n=109 darstellen willst, hast Du eine Primzahl vor
> > Dir. Trotzdem stellst Du sie aus Zweien und Dreien dar. Es
> > gibt dafür genau 35 verschiedene Möglichkeiten.
>
> Wie kommst du denn auf die 35 Möglichkeiten? Vielleicht
> hilft es mir einfach mal die Lösung zu hören, ich fühl
> mich wie ein Dummkopf :(
Nee, bist Du nicht, jedenfalls, wenn Du meinen Fehler gefunden hast. Es gibt natürlich nur 18 Möglichkeiten.
1) 109=1*3+53*2
2) 109=3*3+50*2
3) 109=5*3+47*2
...
18) 109=35*3+2*2
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Di 27.10.2009 | | Autor: | durden88 |
hab nun lange überlegt und das ist meine Formel:
2k=1*2+(k-1)*2
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Di 27.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
2*k so umzuschreiben kann wohl nicht viel Überlegung sein. Du hattest doch schon lange, dass du alle geraden Zahlen 2n ,it a=n. b=0 kannst.
alle anderen Zahlen haben die Form 2n*1, davon gibts 2 Sorten:
die durch 3 teilbaren, was weisst du dann ueber 2n? bzw. n
die kannst du sowoeso. als a=0 b=(2n*1)/3 darstellen.
Wie sehen die aus, die nicht durch 3 teilbar sind?
Beispiel: nimm irgend ne ungerade Zahl:
12345= durch 3 teilbar , fertig a=0 b=....
1234567 nicht durch 3 teilbar, laesst bei Division den Rest 1
1234567=1234566+1=617283*2*1+1=617282*2+2+1 fertig
a=617282 b=1
Kannst du das jetzt allgemein?
Gruss leduart
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