Beweis multiplikative Gruppe Z < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 So 01.11.2009 | | Autor: | FMX |
| Aufgabe | | Man begründe, dass [mm] \IZ_{7} \backslash \{0\} [/mm] zusammen mit der Multiplikation [mm] \*_{7} [/mm] eine Gruppe ist. |
Hallo zusammen!
Hab als Übung die Aufgabe. Man muss darauf Gruppenaxiome anwenden.
(G1) - Assoziativität, z.B. (1*2)*3 = 1*(2*3) = 6
(G2) - Neutrales Element, z.B. e [mm] \in \IZ, [/mm] mit 2*e = 2 =e*a. e =1
Nur mit (G3) hab ich ein Problem... Existenz des inversen Elementes zu a [mm] \in \IZ. [/mm] z.B. zu 3 wäre 1/3 das inverse Element, aber 1/3 [mm] \not\in \IZ...
[/mm]
Wo hab ich nen Gedankenfehler? Danke im voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 So 01.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Man begründe, dass [mm]\IZ_{7} \backslash \{0\}[/mm] zusammen mit
> der Multiplikation [mm]\*_{7}[/mm] eine Gruppe ist.
>
> Hallo zusammen!
>
> Hab als Übung die Aufgabe. Man muss darauf Gruppenaxiome
> anwenden.
> (G1) - Assoziativität, z.B. (1*2)*3 = 1*(2*3) = 6
> (G2) - Neutrales Element, z.B. e [mm]\in \IZ,[/mm] mit 2*e = 2
> =e*a. e =1
>
> Nur mit (G3) hab ich ein Problem... Existenz des inversen
> Elementes zu a [mm]\in \IZ.[/mm] z.B. zu 3 wäre 1/3 das inverse
> Element, aber 1/3 [mm]\not\in \IZ...[/mm]
Wenn du mal genau schaust, siehst du da kein [mm] $\IZ$ [/mm] in der Aufgabenstellung, sondern [mm] $\IZ_7$. [/mm] Du suchst also ein Element $x [mm] \in \IZ_7$ [/mm] mit $3 * x = 1$ in [mm] $\IZ_7$. [/mm] Nimm doch z.B. $x = 5$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 So 01.11.2009 | | Autor: | FMX |
Ach so, ich muss ja nicht einfach die Multiplikation betrachten, sondern (a*b) mod 7. dann wäre (3*5) mod 7 = 1. richtig? sind dann die Beispiele für die ersten beide Axiome richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 So 01.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ach so, ich muss ja nicht einfach die Multiplikation
> betrachten, sondern (a*b) mod 7. dann wäre (3*5) mod 7 =
> 1. richtig?
Ja.
> sind dann die Beispiele für die ersten beide
> Axiome richtig?
Ja, aber bedenke: mit Beispielen beweist du nichts.
LG Felix
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