Beweis monoton fallend < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man weise nach, dass eine monoton fallend und nach unten beschränkte Folge konvergent ist |
Hey @ all,
für monoton wachsend und nach oben beschränkt habe ich folgendes heraus:
[mm] |x_n [/mm] - a| < ypsilon
Müsste ich für die obige Frage das < umdrehen?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Di 23.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Man weise nach, dass eine monoton fallend und nach unten
> beschränkte Folge konvergent ist
> Hey @ all,
> für monoton wachsend und nach oben beschränkt habe ich
> folgendes heraus:
>
> [mm]|x_n[/mm] - a| < ypsilon
Das ist doch völlig nichtssagend !
Für die Folge [mm] a_n=(-1)^n [/mm] hab ich heraus: [mm] |a_n-2345|<12345
[/mm]
Aber [mm] (a_n) [/mm] divergiert.
zeig mal , ob Du was brauchbares für eine wachsende Folge [mm] (x_n) [/mm] heraus hast, wenn sie nach oben beschränkt ist.
FRED
>
> Müsste ich für die obige Frage das < umdrehen?
>
> Danke
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
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ich hoffe ich habe was brauchbares für "für eine wachsende Folge [mm] (x_n), [/mm] wenn sie nach oben beschränkt ist."
Meine Lösung:
Es sei [mm] x_n [/mm] monoton wachsend.
setzen a:=sup [mm] x_n [/mm] und zeigen, dass [mm] (x_n) [/mm] gegen a konvergieren muss.
Ypsilon > 0 sei beliebig gewählt. Da a die kleinste obere Schranke von [mm] (x_n) [/mm] ist, gibt es für beliebiges ypsilon > 0 ein [mm] n_0 [/mm] Element natürlicher Zahlen mit x_n0 > a - ypsilon
Wegen der Monotonie von [mm] (x_n) [/mm] gilt dann aber auch für alle [mm] n_0 [/mm] nachfolgenden n>= [mm] n_0: x_n [/mm] > a-ypsilon.
Folgt
a-ypsilon < [mm] x_n [/mm] <= a <a+ypsilon
Subtraktion von a für alle n>= [mm] n_0 [/mm] :
-ypsilon < [mm] x_n [/mm] - a < ypsilon <=> [mm] |x_n [/mm] -a| < ypsilon
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:49 Di 23.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich hoffe ich habe was brauchbares für "für eine
> wachsende Folge [mm](x_n),[/mm] wenn sie nach oben beschränkt
> ist."
>
> Meine Lösung:
> Es sei [mm]x_n[/mm] monoton wachsend.
> setzen a:=sup [mm]x_n[/mm] und zeigen, dass [mm](x_n)[/mm] gegen a
> konvergieren muss.
> Ypsilon > 0 sei beliebig gewählt.
schreibe doch bitte $\epsilon$ [mm] ($\epsilon$) [/mm] oder $\varepsilon$ [mm] ($\varepsilon$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Di 23.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich hoffe ich habe was brauchbares für "für eine
> wachsende Folge [mm](x_n),[/mm] wenn sie nach oben beschränkt
> ist."
>
> Meine Lösung:
> Es sei [mm]x_n[/mm] monoton wachsend.
> setzen a:=sup [mm]x_n[/mm]
und wie habt ihr [mm] $\sup x_n$ [/mm] definiert? Diese Notation ist alles andere als schön -
schreibe [mm] $\sup \{x_n:\;\;n \in \IN\}$ [/mm] oder wenigstens [mm] $\sup_{n \in \IN} x_n$ [/mm] oder sowas!
> und zeigen, dass [mm](x_n)[/mm] gegen a
> konvergieren muss.
> Ypsilon > 0
Schreibe [mm] $\epsilon [/mm] > 0$!
> sei beliebig gewählt. Da a die kleinste obere
> Schranke von [mm](x_n)[/mm] ist, gibt es für beliebiges ypsilon > 0
Na, Du hast eben schon ein beliebiges gewählt, also gilt das folgende für dieses!
> ein [mm]n_0[/mm] Element natürlicher Zahlen
Schreibe [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] - und wichtig: [mm] $n_0$ [/mm] darf in Abhängigkeit zu [mm] $\epsilon$ [/mm] stehen,
was man oft durch die Gleichheit [mm] $n_0=n_0(\epsilon)$ [/mm] ausdrücken will!
> mit x_n0 > a - ypsilon
Schreibe das so: [mm] $x_{n_0} [/mm] > [mm] a-\varepsilon$!
[/mm]
> Wegen der Monotonie von [mm](x_n)[/mm] gilt dann aber auch für
> alle [mm]n_0[/mm] nachfolgenden n>= [mm]n_0: x_n[/mm] > a-ypsilon.
Wieder: Schreibe das (mit dem Formeleditor) so: für alle $n [mm] \ge n_0:$ $x_n [/mm] > [mm] a-\epsilon$!
[/mm]
> Folgt
> a-ypsilon < [mm]x_n[/mm] <= a <a+ypsilon
Also [mm] $a-\epsilon [/mm] < [mm] x_n [/mm] < [mm] a+\epsilon\,.$ [/mm] Eigentlich sollte man so argumentieren:
Wir erhalten also für alle $n [mm] \ge n_0$
[/mm]
[mm] $$a-\epsilon [/mm] < [mm] x_n \le a\,,$$
[/mm]
insbesondere folgt also auch für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] sodann
[mm] $$a-\epsilon [/mm] < [mm] x_n [/mm] < [mm] a+\epsilon\,.$$
[/mm]
> Subtraktion von a für alle n>= [mm]n_0[/mm] :
>
> -ypsilon < [mm]x_n[/mm] - a < ypsilon <=> [mm]|x_n[/mm] -a| < ypsilon
[mm] $-\epsilon [/mm] < [mm] x_n [/mm] < a [mm] \gdw |x_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
Ja, das ist brauchbar. Leider glaube ich nicht, dass Du Dir das alles selbst
überlegt hast - falls dem doch so ist, so müßtest Du es insbesondere komplett
verstanden haben, und die Übertragung des Beweises auf [mm] "$(x_n)_n$ [/mm] monoton fallend
und nach unten beschränkt" wäre reine Formsache.
Du kannst Dir das Leben hier auch tatsächlich ein wenig einfacher machen, wenn
die obige Aussage bewiesen worden ist. Denn [mm] $(r_n)_n$ [/mm] ist genau dann monoton
wachsend, wenn [mm] $(-r_n)_n$ [/mm] monoton fallend ist, und [mm] $(r_n)_n$ [/mm] ist genau dann nach
oben beschränkt, wenn [mm] $(-r_n)_n$ [/mm] nach unten beschränkt ist! Damit kann man die
Aussage mit "monoton fallend und nach unten beschränkt" sofort auf die mit "monoton
wachsend und nach oben beschränkt" zurückführen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Sa 27.04.2013 | | Autor: | student10 |
Hey Marcel, danke für die hilfreichen Tipps, ich bin schon selbst zu den Erkenntnissen gekommen die ich oben erwähnt habe, sorry für die unübersichtliche Schreibweise, war mein erstes mal hier, werde mich das nächste mal bemühen es ordentlich rüber zu bringen.
Das mit den Zeichenswechsel habe ich dann wohl vom Prof falsch interpretiert "Alle die es geschafft haben den Beweis für monoton wachsend und nach oben beschränkt durchzuführen können versuchen den Beweis für monoton fallend und nach unten beschränkt durchzuführen.......Zeichenwechsel"
Habe da zwischen wohl nicht aufgepasst und war verwundert dass es nur mit einem Zeichenwechsel funktioniert, aber dank einiger Antworten hier, wurde mir klar, das es nicht nur durch einen Zeichnwechsel geht.
An den mathematischen Definitionen muss ich noch arbeiten 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Di 23.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
> Man weise nach, dass eine monoton fallend und nach unten
> beschränkte Folge konvergent ist
> Hey @ all,
> für monoton wachsend und nach oben beschränkt habe ich
> folgendes heraus:
>
> [mm]|x_n[/mm] - a| < ypsilon
??
> Müsste ich für die obige Frage das < umdrehen?
Was wäre der Sinn davon?
Ist [mm] ${(x_n)}_n$ [/mm] monoton wachsend und nach oben beschränkt,
so setze [mm] $a:=\sup\{x_n:\;\;n \in \IN\}$ [/mm] (Du musst begründen, wieso [mm] $a\,$
[/mm]
"in [mm] $\IR$ [/mm] definiert" ist) und zeige, dass [mm] $x_n \to [/mm] a$!
(Zu zeigen: Für (jedes) [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $n_0=n_0(\epsilon) \in \IN$ [/mm] mit
[mm] $|x_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon\,$ [/mm] für alle $n [mm] \ge n_0\,.$)
[/mm]
Ist nun [mm] ${(x_n)}_n$ [/mm] monoton fallend und nach unten beschränkt,
so ersetze [mm] $\sup$ [/mm] durch [mm] $\inf$ [/mm] (weiterhin: Begründung!) und mache
dann das Gleiche.
Tipp: Schau' Dir die Definition der Konvergenz einer Folge an.
Diese hast Du offensichtlich nicht verstanden!
Gruß,
Marcel
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