Beweis mittels Symbolisierung < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Di 05.11.2013 | | Autor: | HannSG |
| Aufgabe | Sei (G, 0, N) ein Pfeilmodell. Unter einem Kreis in (G, 0, N) versteht man eine Menge der
Art { [mm] N^{k}(a) [/mm] | k [mm] \in \IN, [/mm] k < n } mit n [mm] \in \IN \{0}, [/mm] a [mm] \in [/mm] G und [mm] N^{n}(a) [/mm] = a. Beweisen Sie mittels einer geeigneten
Symbolisierung:
a) Für alle Elemente b, c eines Kreises K in (G, 0, N) gilt b ≤ c und c ≤ b.
b) Kein Kreis ist Teilmenge eines größeren Kreises.
c) Zwei ungleiche Kreise sind stets disjunkt |
Wie kann man das formal Beweisen? Ich finde für keine der drei Teilaufgaben einen Ansatz. Muss man mengentheoretisch beweisen?
Schon mal Danke im Voraus.
Lg Hanna
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Du solltest dir zunächst klar machen, wie ein Kreis "aussieht". Offenbar hast du eine (endliche?) Menge G mit einer Abbildung N: G [mm] \mapsto [/mm] G. Ordnet man die Elemente geometrisch an, so kann man von jedem x einen Pfeil zu N(x) ziehen. Von N(x) geht dann ein Pfeil zu N(N(x)), von da aus zu N(N(N(x))) usw.. Auf diese Weise entsteht eine Teil-Ordnungsstruktur: Wenn man über einen oder mehrere Pfeile von a zu b gelangen kann, heißt a [mm] \le [/mm] b.
Bei einer endlichen Menge muss irgendwann der Weg über die Pfeile auf ein bereits zu diesem Weg gehörendes Element treffen. Dann schließt sich der Weg, und du bekommst beispielsweise folgendes Bild:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier wäre z.B a [mm] \le [/mm] d, aber nicht d [mm] \le [/mm] a. Offenbar wird an N noch eine weitere Forderung gestellt, dass in den Kreis c,d,e,f,g,h nicht über a und b "eingedrungen" werden kann, z.B. Injektivität oder Bijektivität. Im Kreis c,d,e,f,g,h ist tatsächlich c [mm] \le [/mm] f und f [mm] \le [/mm] c. Du sollst also bei a) beweisen, dass die dort definierten "Kreise" keinen "Einstiegsteil" haben.
b) und c) müssten dann interpretativ klar sein.
Überlege dir anhand dieser Darstellung, wie du formal den Beweis führen könntest.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Di 05.11.2013 | | Autor: | HannSG |
Schon mal danke für die Hilfe. Ich kann mir das jetzt besser bildlich vorstellen.
zu a)
Muss ich hier bei [mm] N^{n}(a) [/mm] :=a ansetzen? Denn eigentlich besagt ja diese Voraussetzung, dass es keinen Anfang im Kreis gibt, oder nicht? Muss ich da noch was beweisen?
zu b)
Muss ich hier zeigen, dass es in dem Kreis keine Abzweigung gibt, so dass z.B. a zwei Nachfolger hätte? Oder denke ich da gerade falsch?
Wie kann ich das beweisen?
zu c)
Was ist hier mit "ungleiche Kreise" gemeint?
Lg Hanna
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Der "Keim" eines Kreises ist ja ein a, für das es ein n gibt, so dass [mm] N^n(a)=a [/mm] ist. Wenn a diese Eigenschaft hat, werden alle "Zwischenglieder" [mm] N^k [/mm] mit hinzugenommen und bilden als Menge diesen Kreis. In meinem Bild gäbe es für a kein solches n, deswegen käme a auch nicht als "Startwert" in Frage, wohl aber beispielsweise c oder f. Der Kreis bestünde dann aus c,d,e,f,g,und h.
Was mir bei der Definition nicht ganz klar ist: Gehört a selber mit zum Kreis? Es ist [mm] N^0(a)=a [/mm] und [mm] N^n(a)=a, [/mm] aber für k [mm] \in \IN [/mm] und k<n taucht a nicht auf. Oder gehört 0 bei euch zu [mm] \IN? [/mm] Wenn a nicht mit dazu gehört, gibt das Ganze keinen Sinn. Tun wir also so als ob.
Zu a)
Fang so an: Seien b und c [mm] \in [/mm] K und b [mm] \le [/mm] c. Für b=c ist auch c=b, also c [mm] \le [/mm] b. Sei also b<c. Dann gibt es [mm] 0\le [/mm] i < j < n mit [mm] b=N^i(a) [/mm] und [mm] c=N^j(a). [/mm] Weil aber dann [mm] N^{n+i-j}(c) [/mm] ... , ist auch c [mm] \le [/mm] b. (Weil j<n ist, ist n+i-j positiv, weil i<j ist ist n+i-j < n.)
Zu b)
Ja, das liegt daran, dass N eine Funktion ist.
Zu c)
Betrachte zwei verschiedene Kreise, die nicht disjunkt sein sollen. Verschieden heißt, es gibt ein a [mm] \in K_1, [/mm] aber nicht in [mm] K_2, [/mm] nicht disjunkt heißt: ... und ein b in [mm] K_1 [/mm] und [mm] K_2. [/mm] Zeige, dass das nicht möglich ist. Orientiere dich immer am Kreisbild.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:15 Mi 06.11.2013 | | Autor: | HannSG |
Danke das hilft mir schon sehr weiter.
Ich glaube die a) habe ich verstanden.
> Was mir bei der Definition nicht ganz klar ist: Gehört a
> selber mit zum Kreis? Es ist [mm]N^0(a)=a[/mm] und [mm]N^n(a)=a,[/mm] aber
> für k [mm]\in \IN[/mm] und k<n taucht a nicht auf. Oder gehört 0
> bei euch zu [mm]\IN?[/mm] Wenn a nicht mit dazu gehört, gibt das
> Ganze keinen Sinn. Tun wir also so als ob.
Ja genau. 0 gehört bei uns zu [mm] \IN
[/mm]
zu b)
Kann man hier über die Eindeutigkeit einer Funktion argumentieren? Denn einem x ist immer genau ein y zugeordnet?!
Das ist wahrscheinlich zu simpel gedacht, oder?
zu c)
Tut mir Leid, aber ich stehe auf dem Schlauch. Ich komme nicht drauf wie ich das zum Widerspruch führen kann. Das muss ja irgendwie mit den Voraussetzungen kollidieren. Wo muss ich da ansetzen?
Lg Hanna
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> zu b)
> Kann man hier über die Eindeutigkeit einer Funktion
> argumentieren? Denn einem x ist immer genau ein y
> zugeordnet?!
> Das ist wahrscheinlich zu simpel gedacht, oder?
Nein, aber etwas schwierig zu begründen. Fang so an: Sei K der von a erzeugte Kreis mit [mm] N^n(a)=a. [/mm] Dann hat K n Elemente. Angenommen, K ist Untermenge eines größeren Kreises K* mit m>n Elementen. Dann gibt es ein b, das diesen Kreis erzeugt, also [mm] N^m(b)=b, [/mm] wobei die [mm] N^k(b) [/mm] auch alle von a erzeugten Elemente von K erzeugen. Das ergäbe etwa mein falsches Bild in meiner ersten Antwort. Du musst nun zeigen:
Wenn b schon in K war, erzeugt b nur einen Kreis der Länge n<m, also nicht K*. Wenn b nicht in K war, stößt man irgendwann auf a, hängt dan im kleineren Kreis k und kehr gar nicht zu b zurück, bekommt also gar keinen Kreis.
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> zu c)
> Tut mir Leid, aber ich stehe auf dem Schlauch. Ich komme
> nicht drauf wie ich das zum Widerspruch führen kann. Das
> muss ja irgendwie mit den Voraussetzungen kollidieren. Wo
> muss ich da ansetzen?
>
Wenn die Kreise verschieden sind, muss mindestens ein Kreis ein Element x haben, das nicht im anderen ist. Sei also x [mm] \in K_1, [/mm] aber nicht in [mm] K_2. [/mm] Wenn die Kreise nicht disjunkt sind, gibt es mindestens ein gemeinsames Element. Nach b) erzeugt x auch einen Kreis, der aber nicht größer als [mm] K_1 [/mm] sein kann; nach b) kann er aber auch nicht kleiner als [mm] K_1 [/mm] sein (sonst enthielte ein Kreis einen größeren anderen). Also erzeugt x ganz [mm] K_1. [/mm] Wenn die Kreise nicht disjunkt wären, wäre eines der [mm] N^k(x) [/mm] auch in [mm] K_2 [/mm] .... jetzt spinne den Faden weiter.
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