Beweis mittels Majorante < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien [mm] (a_k)_{k \in \IN} [/mm] und [mm] (b_k)_{k \in \IN} [/mm] Folgen nicht negativer reeller Zahlen mit [mm] b_k \not= [/mm] 0 für alle bis auf endlich viele k [mm] \in \IN [/mm] und es sei [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{a_k}{b_k}) [/mm] = A [mm] \in \IR \cup [/mm] { [mm] \infty [/mm] }. Zeige:
a) ist A [mm] \not= [/mm] und A [mm] \not= \infty, [/mm] so sind die Reihen [mm] \summe_{k=1}^{n} a_k [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{n} b_k [/mm] entweder beide konvergent, oder beide divergent.
b) Ist A = 0 , so folgt aus der Konvergenz von [mm] \summe_{k=1}^{n} b_k [/mm] die Konvergenz von [mm] \summe_{k=1}^{n} a_k [/mm]
Hinweis: Verwende für die Beweise das Majorantenkriterium! |
Hallo,
also bei a) traue ich mir keinen Ansatz zu, da fällt mir leider nichts ein.
Bei b) würde ich sagen, dass wenn [mm] \summe_{k=1}^{n} b_k [/mm] konvergiert, und es entweder [mm] \summe_{k=1}^{n} b_k \le \summe_{k=1}^{n} a_k [/mm] oder aber [mm] \summe_{k=1}^{n} b_k \ge \summe_{k=1}^{n} a_k [/mm] gilt, muss auch [mm] \summe_{k=1}^{n} a_k [/mm] konvergieren.
Mir fehlt so bisschen der Ansatz. Ich bitte um ein paar Tipps.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:45 Do 10.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Es seien [mm](a_k)_{k \in \IN}[/mm] und [mm](b_k)_{k \in \IN}[/mm] Folgen
> nicht negativer reeller Zahlen mit [mm]b_k \not=[/mm] 0 für alle
> bis auf endlich viele k [mm]\in \IN[/mm] und es sei
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} (\bruch{a_k}{b_k})[/mm] = A [mm]\in \IR \cup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> { [mm]\infty[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}. Zeige:
>
> a) ist A [mm]\not=[/mm]
Da steht A [mm] \ne [/mm] 0
> und A [mm]\not= \infty,[/mm] so sind die Reihen
> [mm]\summe_{k=1}^{n} a_k[/mm] und [mm]\summe_{k=1}^{n} b_k[/mm] entweder
> beide konvergent, oder beide divergent.
>
> b) Ist A = 0 , so folgt aus der Konvergenz von
> [mm]\summe_{k=1}^{n} b_k[/mm] die Konvergenz von [mm]\summe_{k=1}^{n} a_k[/mm]
>
> Hinweis: Verwende für die Beweise das
> Majorantenkriterium!
> Hallo,
> also bei a) traue ich mir keinen Ansatz zu, da fällt mir
> leider nichts ein.
Es ist also $A [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty)$. [/mm] Es gibt ein N [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] \bruch{1}{2}A \le \bruch{a_n}{b_n} \le \bruch{3}{2}A [/mm] für n >N.
Folglich habem wir
[mm] $\bruch{1}{2}A b_n \le a_n \le \bruch{3}{2}A b_n$ [/mm] für n >N.
Kommst Du damit weiter ?
>
> Bei b) würde ich sagen, dass wenn [mm]\summe_{k=1}^{n} b_k[/mm]
> konvergiert, und es entweder [mm]\summe_{k=1}^{n} b_k \le \summe_{k=1}^{n} a_k[/mm]
> oder aber [mm]\summe_{k=1}^{n} b_k \ge \summe_{k=1}^{n} a_k[/mm]
> gilt, muss auch [mm]\summe_{k=1}^{n} a_k[/mm] konvergieren.
Wieso das denn ? Und was hat das mit A=0 zu tun ???
Ist A=0, so gibt es en N [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] \bruch{a_n}{b_n} \le \bruch{1}{2} [/mm] für n >N.
Jetzt Du.
FRED
>
> Mir fehlt so bisschen der Ansatz. Ich bitte um ein paar
> Tipps.
>
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Hallo,
danke für die Antwort. Aber wie kommst du auf 1/2 und 3/2 ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Do 10.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> danke für die Antwort. Aber wie kommst du auf 1/2 und 3/2
Wenn eine Folge [mm] (q_n) [/mm] gegen A >0 konvergiert, so liegen fast alle Folgenglieder im Intervall [mm] [\bruch{1}{2}A, \bruch{3}{2}A]
[/mm]
FRED
> ?
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Wow, das wusste ich bis jetzt überhaupt nicht. Ich glaube, das müsste ich dann noch beweisen. Ist eine Definition, also schon so festgelegt oder irgendein Lemma/Korollar?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Do 10.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Wow, das wusste ich bis jetzt überhaupt nicht. Ich glaube,
> das müsste ich dann noch beweisen. Ist eine Definition,
> also schon so festgelegt oder irgendein Lemma/Korollar?
Es ist ganz einfach: die Folge [mm] (q_n) [/mm] konvergiere gegen A. Ist nun [mm] \varepsilon [/mm] >0, so gilt:
(1) [mm] |q_n-A| \le \varepsilon [/mm] für fast alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
(1) ist gleichbedeutend mit
(2) $A- [mm] \varepsilon \le q_n \le [/mm] A+ [mm] \varepsilon$ [/mm] für fast alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Ist A>0, so wähle mal [mm] $\varepsilon =\bruch{1}{2}A$. [/mm] (2) bedeutet dann
[mm] $q_n \in [\bruch{1}{2}A, \bruch{3}{2}A]$ [/mm] für fast alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 Do 10.12.2015 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar, vielen vielen Dank für deine Hilfe.
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