Beweis mit stetiger Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 18:09 Do 13.01.2005 | | Autor: | royalbuds |
Hallo,
wie kann ich die folgende Aufgabe lösen?
[mm] f:\IR \to \IR [/mm] eine stetige Funktion mit der Eigenschaft: für alle x,y [mm] \in \IR [/mm] gilt f(x+y) = f(x) + f(y). Zeigen Sie, dass es ein [mm] \lambda \in \IR [/mm] gibt mit f(x) = [mm] \lambda [/mm] *x
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 Do 13.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo royalbuds
du erhälst hier eher eine antwort auf deine frage, wenn du eigene lösungsansätze mitlieferst oder wenigstens konkrete fragen stellst (siehe auch foren-regeln).
ich gebe dir trotzdem mal den tipp die forensuche zu bemühen, diese frage wurde innerhalb der letzten zwei wochen schon einmal in diesem forum gestellt.
grüße
andreas
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Hab jetzt einige Ansätze. Wo soll ich die denn jetzt schreiben? Kann ich meinen ersten Post nicht ändern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Do 13.01.2005 | | Autor: | andreas |
hallo
> Hab jetzt einige Ansätze. Wo soll ich die denn jetzt
> schreiben?
wenn du neue fragen stellen kannst eröffne doch einfach eine neue frage (in diesem strang - also jetzt einfach auf "Ich möchte jetzt eine Frage zu dieser Antwort stellen." klicken) und poste darin deine ansätze!
> Kann ich meinen ersten Post nicht ändern?
normalerweise schon. das liegt hier wohl daran, dass der auf den status "nur für interessierte gesetzt war".
also dann mal her mit deinen ansätzen.
grüße
andreas
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ok,
die Funktion ist ja linear. Also kann ich f(1)= [mm] \lambda [/mm] schreiben. f(2)=2*f(1), f(3)=3a. Bin mir jetzt leider nicht sicher wie ich weitermachen kann bzw. muss. Ist mein Ansatz überhaupt korrekt?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Do 13.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
hast du mal im forum nach der alten frage gesucht? dort wurde eine vorgehensweise skizziert.
ich würde mir zuerst überlegen, was [m] f(0) [/m] ist. wenn du die forderung an die funktion anwendest erhälst du doch [m] f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0) [/m] wenn du den ersten und letzten ausdruck vergleichst, was folgt dann?
deine vorgehensweise ist übrigens nicht falsch - es fehlen aber ein paar schritte, oder?
grüße
andreas
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Hallo,
> ich würde mir zuerst überlegen, was [m]f(0)[/m] ist. wenn du die
> forderung an die funktion anwendest erhälst du doch [m]f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0)[/m]
> wenn du den ersten und letzten ausdruck vergleichst, was
> folgt dann?
wenn ich hiervon ausgehe [m]f(0) = f(0+0) = f(0) + f(0)[/m] , ist [m]\lambda*0 = f(0) + f(0) \Rightarrow\lambda*(0 + 0) = f(0) + f(0) [/m] , also [m] \lambda*\underbrace{(x+y)}_{=x'} = f(x) + f(y) = f(x+y)[/m]
Genügt das als Beweis?
Gruß
Royal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Sa 15.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
dein vorgehen ist mir derzeit nicht so wirklich klar. setze z.b. hier [m] f(1) := \lambda [/m], dann gilt [m] f(2) = f(1+1) = f(1) + f(1) = \lambda + \lambda = 2 \lambda [/m]. diese wissen kannst du nun auf ganz [m] \mathbb{N} [/m] ausbreiten (induktion ?).
dann kannst du wegen [m] 0 = f(0) = f(1 + (-1)) = f(1) + f(-1) = \lambda + f(-1) [/m], also [m] f(-1) = - \lambda [/m] folgern. damit folgt die analoge aussage auch für [m] \mathbb{Z} [/m].
für argumente aus [m] \mathbb{Q} [/m] kannst du dir ja selber mal etwas überlegen und um die aussage dann schleißlich für ganz [m] \mathbb{R} [/m] zu zeigen benötigst du die stetigkeit und die dichtheit von [m] \mathbb{Q} [/m] in [m] \mathbb{R} [/m].
probiere doch am besten den beweis soweit auszuarbeiten, wie du kommst und hier aufzuschrieben.
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Do 13.01.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo,
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> wie kann ich die folgende Aufgabe lösen?
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> [mm]f:\IR \to \IR[/mm] eine stetige Funktion mit der Eigenschaft:
> für alle x,y [mm]\in \IR[/mm] gilt f(x+y) = f(x) + f(y). Zeigen Sie,
Diese Eigenschaft ist gerade die Linearität einer Abbildung (wie in der Linearen Algebra). Aber man kann nicht folgen, dass es ein [mm] $\IR$-lineare [/mm] Abbildung ist. Sondern nur eine lineare Abbildung für den kleinsten Teilkörper, der die ganzen Zahlen enthält, also [mm] $\IQ$. [/mm]
Langer Rede kurzer Sinn: Aus der Eigenschaft kann man schliessen, dass f eine [mm] $\IQ$-lineare [/mm] Abbildung von [mm] $\IR\to\IR$ [/mm] ist. Schränkt man f auf die [mm] $\IQ$ [/mm] ein, so muss ein [mm] $\lambda$ [/mm] existieren, sodass [mm] $f(x)=\lambda [/mm] x$ ist. Denn die Menge [mm] $\IQ$ [/mm] ist ein eindimesionaler [mm] $\IQ$-linearer [/mm] Unterraum von [mm] $\IR$. [/mm] (A propos, die Zahl [mm] $\lambda$ [/mm] kann eine irrationale Zahl sein, muss also nicht rational sein).
Weil die Menge [mm] $\IQ$ [/mm] dicht in [mm] $\IR$ [/mm] liegt, und f stetig ist, gibt es eine eindeutige stetige Fortsetzung auf ganz [mm] $\IR$. [/mm] Diese Stetige Fortsetzung hat natürlich den gleichen Funktionsterm [mm] $f(x)=\lambda [/mm] x$.
mfG Moudi
> dass es ein [mm]\lambda \in \IR[/mm] gibt mit f(x) = [mm]\lambda[/mm] *x
>
> Gruß
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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