Beweis mit glm. Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
folgende Aufgabe:
Es seien [mm] (f_n)_{n\ge1} \subset C^1([a, [/mm] b]) und f [mm] \in C^1([a, [/mm] b]) mit f(x) [mm] \ge \delta [/mm] > 0 für alle x [mm] \in [/mm] [a, b], so dass [mm] f_n \to [/mm] f und f'_n [mm] \to [/mm] f' für n [mm] \to \infty [/mm] gleichmäßig konvergieren. Zeige:
Es gibt ein [mm] n_0 \in \IN, [/mm] so dass [mm] f_n(x) [/mm] > [mm] \frac{\delta}{2} [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [a, b] und n [mm] \ge n_0.
[/mm]
Hier meine Überlegungen:
1. Für alle n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] (f_n)_{n\ge1} [/mm] stetig und differenzierbar in [a, b]
2. In [a, b] ist auch f stetig und differenzierbar.
3. f(x) ist nach unten beschränkt - durch 0.
4. [mm] f_n \to [/mm] f (gleichmäßig) [mm] \gdw \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0(\varepsilon) \in \IN [/mm] derart, dass [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a, b] und [mm] \forall [/mm] n > [mm] n_0(\varepsilon) [/mm] : [mm] |f_n(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \varepsilon
[/mm]
5. [mm] f_n' \to [/mm] f' (gleichmäßig) [mm] \gdw \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists n_0(\varepsilon) \in \IN [/mm] derart, dass [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a, b] und [mm] \forall [/mm] n > [mm] n_0(\varepsilon) [/mm] : [mm] |f_n'(x) [/mm] - f'(x)| < [mm] \varepsilon [/mm]
Zu zeigen ist nun, dass es immer einen Index [mm] n_0 [/mm] gibt ab dem [mm] f_n(x) [/mm] > [mm] \frac{\delta}{2} [/mm] ist - und dies für alle x [mm] \in [/mm] [a, b].
Ich habe versucht mit den Zwischenwertsätzen zur argumentieren. Hat mich leider nicht weitergebracht. Habt ihr noch ne Idee?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:18 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> folgende Aufgabe:
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> Es seien [mm](f_n)_{n\ge1} \subset C^1([a,[/mm] b]) und f [mm]\in C^1([a,[/mm]
> b]) mit f(x) [mm]\ge \delta[/mm] > 0 für alle x [mm]\in[/mm] [a, b], so dass
> [mm]f_n \to[/mm] f und f'_n [mm]\to[/mm] f' für n [mm]\to \infty[/mm] gleichmäßig
> konvergieren. Zeige:
>
> Es gibt ein [mm]n_0 \in \IN,[/mm] so dass [mm]f_n(x)[/mm] > [mm]\frac{\delta}{2}[/mm]
> für alle x [mm]\in[/mm] [a, b] und n [mm]\ge n_0.[/mm]
ist das eine Teilaufgabe? Denn alleine, wenn [mm] $f_n \to [/mm] f$ gleichmäßig auf $[a,b]$ gegen $f$ konvergiert und $f(x) [mm] \ge \delta [/mm] > 0$ für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ gilt, dann gehe ich hier einfach hin und lege einen [mm] $\varepsilon$-Schlauch [/mm] mit [mm] $\varepsilon:=\frac{\delta}{4} [/mm] > 0$ um $f$. Ab einem gewissen [mm] $N=N_\varepsilon$ [/mm] fallen alle [mm] $f_n$ [/mm] in diesen Schlauch (weil die [mm] $f_n$ [/mm] ja gleichmäßig konvergent gegen $f$ sind):
D.h. [mm] $\exists N=N_\varepsilon$: $\forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N$ und [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] [a,b]$:
[mm] $|f_n(x)-f(x)| \le \varepsilon=\frac{\delta}{4}$
[/mm]
Dann folgt aber für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b]$ und für alle $n [mm] \ge [/mm] N$:
[mm] $f_n(x)=f(x)+f_n(x)-f(x) \ge \delta+(f_n(x)-f(x)) \ge \delta -|f_n(x)-f(x)| \ge [/mm] ... > ...$ ?
Also hier braucht man eigentlich nur, dass [mm] $f_n \to [/mm] f$ glm. auf $[a,b]$ und $f(x) [mm] \ge \delta [/mm] > 0$ auf $[a,b]$...
Hier stehen also "unnötig viele Voraussetzungen" (man braucht ja noch nicht mal die Stetigkeit von $f$ oder [mm] $f_n$ [/mm] auf $[a,b]$ zu fordern geschweige denn so etwas starkes wie stetige Differenzierbarkeit und dann auch noch, dass die Folge der Ableitungen auch nochmal glm. konvergent gegen [mm] $f\,'$ [/mm] sein soll; das ist doch hier alles vollkommen unnötig...)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:36 Fr 25.04.2008 | | Autor: | abi2007LK |
Ja - das war die Teilaufgabe a. Habe mich dann wohl von den vielen gegeben Dingen beirren lassen. :( Danke.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:47 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ja - das war die Teilaufgabe a. Habe mich dann wohl von den
> vielen gegeben Dingen beirren lassen. :( Danke.
das macht ja nichts. Die Aufgabe ist dann ja sehr verwirrend formuliert (wenn ich das Aufgabenblatt verteilt hätte, dann hätte ich wenigstens dazugesagt, dass man bei Teil a) nur die oben erwähnten zwei Voraussetzungen braucht).
Aber ich hoffe, Du hast die Abschätzungen verstanden?!
Ansonsten wird der eigentliche Teil der Aufgabe sicher schwerer werden, denn irgendwo wird man ja die ganzen Voraussetzungen, die ja doch insgesamt "ziemlich starke" sind, benötigen...
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
jetzt habe ich versucht deinen Beweis komplett zu verstehen. So habe ich es verstanden:
Wir wissen, dass f(x) > [mm] \delta. [/mm] Wir wissen, dass [mm] |f_n(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \varepsilon [/mm] - also der Abstand zwischen [mm] f_n(x) [/mm] und f(x) ist immer kleiner als [mm] \varepsilon. [/mm] Nun darf [mm] f_n(x) [/mm] nicht kleiner oder gleich [mm] \frac{\delta}{2} [/mm] werden - was bedeutet, dass sich [mm] f_n(x) [/mm] nicht weiter als [mm] \frac{\delta}{2} [/mm] von f(x) entfernen darf. Um sicher zu gehen, dass der Abstand nicht so groß wird, dass [mm] f_n \frac{\delta}{2} [/mm] erreich wählst du [mm] \varepsilon [/mm] einfach [mm] \frac{\delta}{4}. [/mm] Eigentlich ganz einfach. :)
Deine Abschätzungen konnte ich auch nachvollziehen. Da fehlen aber noch irgendwelche Abschätzungen. Das hast du mit ... > ... ? angedeutet. Aber welche kommen da noch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Fr 25.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die kommenden kannst du icher selbst. du musst ja noch den Anfang des Beweises nutzen, und das Ziel hast du ja auch vor Augen! Was willst du denn zeigen?
Gruss leduart
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Naja ich möchte zeigen, dass auch für ein geeignetes [mm] \varepsilon [/mm] ein Index [mm] n_0 [/mm] existiert, sodass [mm] f_n(x) [/mm] > [mm] \frac{\delta}{2} [/mm] ist.
Ahhh ein Licht ist aufgeganen...
[mm] \delta [/mm] - [mm] \underbrace{|f_n(x)-f(x)|}_{< \varepsilon = (\delta/4)} \ge \delta [/mm] - [mm] \frac{\delta}{4} [/mm] = [mm] \frac{3\delta}{4} [/mm] > [mm] \frac{\delta}{2}
[/mm]
So? :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Fr 25.04.2008 | | Autor: | leduart |
Ja
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