Beweis mit ganzzahliger Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Begründen Sie, warum ganzzahlige Matrizen A [mm] \in \IZ^{nxn} [/mm] mit einer Determinante det(A) = 1 ganzzahlige Inversen haben. Gilt auch der Umkehrschluss? |
Hallo,
schaue mir gerade im Rahmen eines Vorkurses die obige Mathe-Aufgabe an und habe keinen Ansatz. Ich wollte erst anfangen mit einer einfachen Dreiecksmatrix mit 1'en in der Diagonale zu arbeiten, da sich die Determinante so einfach ablesen lässt. Habe aber keinen Plan und würde mich daher über eure Ratschläge freuen :)
Grüße
Joe
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moin,
Um das Problem zu lösen gibt es verschiedenste Möglichkeiten, daher wäre es sehr praktisch zu wissen was du auf dem Gebiet schon kannst.
Falls du die ![[]](/images/popup.gif) Adjunkte einer Matrix bereits kennst dürfte der Satz recht einfach zu zeigen sein.
Falls nicht:
Als erstes können wir das ganze Problem mal in [mm] $\IQ$ [/mm] betrachten, denn die Matrix ist ja auch eine Matrix über [mm] $\IQ$ [/mm] - wir vergessen einfach kurz, dass alle Elemente ganzzahlig sind.
Dann kann man alle Sätze drauf loslassen, die bereits für Matrizen über Körpern bekannt sind, insbesondere sollte bekannt sein: Eine quadratische Matrix über einem Körper ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich 0 ist.
Damit hättest du in deinem Fall schon begründet, wieso $A$ eine Inverse besitzt; es fehlt nur noch die Frage wieso die Einträge von [mm] $A^{-1}$ [/mm] wirklich alle ganze Zahlen sind.
Um diese beantworten zu können stellt sich aber wie bereits gesagt die Frage was du schon weißt.
Insbesondere ist interessant, ob du weißt wie eine Anwendung des Gaußalgorithmus die Determinante einer Matrix ändert und dass die Determinante multiplikativ ist (also $det(A*B) = det(A)*det(B)$).
Anderes Wissen über die Determinante oder eigene Ansätze sind natürlich auch immer hilfreich. ;)
lg
Schadow
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Hallo schadow,
also Adjunkte sind mir nicht bekannt. Mein Ansatz war zunächst $ A [mm] \cdot [/mm] B = E => det(A [mm] \cdot [/mm] B) = det(E) = 1 = det(A) [mm] \cdot [/mm] det(B) => det(A) = det(B) = 1$ Die Multiplikation der Einzeldeterminanten ist mir durch eine Rechenregel im Skript bekannt.
Beim Gauß-Algorithmus, weiß ich nur, dass beim Tauschen von Zeilen das Vorzeichen verändert wird.
Mein weiterer Ansatz ist jetzt einfach nach der Cramerschen Regel die Elemente der Matrix B der jeweils einzelnen Spalten(-vektoren) [mm] $B_1 [/mm] ... [mm] B_n$ [/mm] so herauszurechnen: $A [mm] \cdot B_j [/mm] = [mm] e_j$ [/mm] sprich der jeweilige Spaltenvektor von B multipliziert mit der Matrix A ergibt den passenden Einheitsvektor.
Nach Cramer wäre jetzt ein Matrixelement jener Spalte: [mm] $x_j [/mm] = [mm] \frac{det(A_j)}{det(A)}$, [/mm] da det(A) = 1 muss man also nur noch zeigen, dass [mm] $det(A_j)$ [/mm] ganz ist, da [mm] $x_j [/mm] = [mm] det(A_j)$ [/mm] und [mm] $x_j$ [/mm] ein Matrixelement von B ist.
[mm] $det(A_j)$ [/mm] ist eine ganze Zahl, da die Summe und das Produkt von ganzen Zahlen eine ganze Zahl ist, da in der Matrix [mm] $A_j$ [/mm] eine Spalte durch einen Einheitsvektor welcher aus den ganzen Zahlen 1 und 0 besteht ersetzt wird. Die Determinante eine ganze Zahl, da die restlichen Elemente von A laut Aufgabenstellung ganzzahlig sind.
=> $B [mm] \in \mathbb Z^{n x n}$ [/mm]
Ist die Folgerung in Ordnung - was ist aber jetzt mit der Umkehrung?
Gruß
Joe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Sa 15.09.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> also Adjunkte sind mir nicht bekannt. Mein Ansatz war
> zunächst [mm]A \cdot B = E => det(A \cdot B) = det(E) = 1 = det(A) \cdot det(B) => det(A) = det(B) = 1[/mm]
> Die Multiplikation der Einzeldeterminanten ist mir durch
> eine Rechenregel im Skript bekannt.
>
> Beim Gauß-Algorithmus, weiß ich nur, dass beim Tauschen
> von Zeilen das Vorzeichen verändert wird.
Ich wuerd das so machen wie du, wenn ich die Cramersche Regel kennen wuerde:
(Mit der Adjunkten ist es einfacher, aber Cramersche Regel ist nur unwesentlich komplizierter.)
> Mein weiterer Ansatz ist jetzt einfach nach der Cramerschen
> Regel die Elemente der Matrix B der jeweils einzelnen
> Spalten(-vektoren) [mm]B_1 ... B_n[/mm] so herauszurechnen: [mm]A \cdot B_j = e_j[/mm]
> sprich der jeweilige Spaltenvektor von B multipliziert mit
> der Matrix A ergibt den passenden Einheitsvektor.
> Nach Cramer wäre jetzt ein Matrixelement jener Spalte: [mm]x_j = \frac{det(A_j)}{det(A)}[/mm],
> da det(A) = 1 muss man also nur noch zeigen, dass [mm]det(A_j)[/mm]
> ganz ist, da [mm]x_j = det(A_j)[/mm] und [mm]x_j[/mm] ein Matrixelement von B
> ist.
Genau.
> [mm]det(A_j)[/mm] ist eine ganze Zahl, da die Summe und das Produkt
> von ganzen Zahlen eine ganze Zahl ist, da in der Matrix [mm]A_j[/mm]
> eine Spalte durch einen Einheitsvektor welcher aus den
> ganzen Zahlen 1 und 0 besteht ersetzt wird. Die
> Determinante eine ganze Zahl, da die restlichen Elemente
> von A laut Aufgabenstellung ganzzahlig sind.
>
> => [mm]B \in \mathbb Z^{n x n}[/mm]
>
> Ist die Folgerung in Ordnung - was ist aber jetzt mit der
> Umkehrung?
Das stimmt so.
Zur Umkehrung: was ist mit der $1 [mm] \times [/mm] 1$-Matrix $(-1)$?
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Di 25.09.2012 | | Autor: | JoeSunnex |
Danke felixf für das Drübergucken, das mit dem Gegenbeispiel ist wirklich ziemlich einfach :)
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