Beweis mit Peano < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:02 Mo 16.10.2006 | | Autor: | Nienor |
| Aufgabe | Beweise mithilfe der Peano-Axiome für die natürlichen Zahlen
m+n=n+m für alle m, n Element N |
Ich komm mit dem Beweis einfach nicht weiter, selbst bei n=1 stellt sich mir die Frage, ob ich einfach von
m+1=m'=1+m
umwandeln darf oder ob ich selbst da noch Zwischenschritte brauch und bei
m+n+1=(m+n)'
fehlt mir dann total der Durchblick
Danke für eure Mithilfe
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Mo 16.10.2006 | | Autor: | statler |
Guten Tag Anne!
> Beweise mithilfe der Peano-Axiome für die natürlichen
> Zahlen
> m+n=n+m für alle m, n Element N
> Ich komm mit dem Beweis einfach nicht weiter, selbst bei
> n=1 stellt sich mir die Frage, ob ich einfach von
> m+1=m'=1+m
> umwandeln darf oder ob ich selbst da noch Zwischenschritte
> brauch
Ja, die brauchste!
Definiert ist die Addition ja wahrscheinlich durch
m+1 = m' und m+n' = (m+n)'
Zeigen willst du die Kommutativität der Addition durch vollständige Induktion über n, also beginnst du völlig richtig mit n = 1.
Also ist m+1 = 1+m zu zeigen.
Und das mußt du wohl durch vollständige Ind. über m angreifen.
Also m = 1:
linke Seite: 1+1 = 1'
rechte Seite: 1+1 = 1'
Aber gleiche Zahlen haben gleiche Nachfolger, also folgt aus 1=1 auch 1'=1' und damit der Induktionsanfang.
Jetzt der Ind.-Schluß: Sei also m+1 = 1+m.
Dann ist 1+m' = (1+m)' nach Def. der Add.
= (m+1)' nach Ind.-Voraussetzung
= (m')' nach Def. der Add.
= m'+1 nach Def. der Add., angewandt auf den Strich außerhalb der Klammer
> und bei
> m+n+1=(m+n)'
> fehlt mir dann total der Durchblick
Mir im Moment auch noch etwas, das ist bestimmt Gewürge, ich denk mal nach.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Mo 16.10.2006 | | Autor: | Nienor |
Erstmal Danke für den Ansatz! Der Induktionsanfang und auch ein Teil meiner Konfusität sind damit schon mal erledigt! DANKE!
Wenn dir noch was zum Rest des Beweises einfällt, wäre das genial!
mfg Nienor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:30 Di 17.10.2006 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Anne!
> und bei
> m+n+1=(m+n)'
> fehlt mir dann total der Durchblick
Jetzt also m+n = n+m (durch Ind. über n):
n = 1 ist erledigt (s. andere message)
Erst zeigen wir noch einen Hilfssatz, nämlich n+m' = n'+m
(ebenfalls durch Ind. über m)
m = 1:
n+1' = (n+1)' nach Def. der Add.
= (n')' nach Def. der Add. innerhalb der Klammer
n'+1 = (n')' auch nach Def. der Add.
also linke S. = rechte S.
Jetzt der Ind.-Schluß:
n + (m')' = (n + m')' nach Def. der Add.
= (n' + m)' nach Ind.-Vorauss.
= n' + m' nach Def. der Add.
Damit ist der HS bewiesen!
Und jetzt die Schlußattacke:
m+n' = (m+n)' nach Def. der Add.
= (n+m)' nach Ind.-Vorauss.
= n + m' nach Def. der Add.
= n' + m nach Hilfssatz
Fertich!
Alles klar? Für Rückfragen stehe ich dir gerne zur Verfügung.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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