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| Aufgabe | Beweisen Sie mit Hilfe des MWS für 0 > a > b und n >1 die Ungleichung:
[mm] b^n [/mm] - [mm] a^n [/mm] < [mm] n(b-a)b^{n-1}
[/mm]
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Hi, ich grübel jetzt seit einer Weile an dieser Aufgabe und komme nicht weiter. Ich glaube zwar den MWS verstanden zu haben aber kann ihn auf diese Aufgabe nicht so recht anwenden.
Ich hab mir überlegt, dass ich für beide Seiten der Ungleichung eine Funktion formuliere und ableite. Die Funktion wäre jeweils stetig und differenzierbar. Damit müsste ich auf beiden Seiten je ein [mm] f'(x_{0}) [/mm] erhalten. [mm] f(x_{0}) [/mm] der linken Ungleichung, müsste dann kleiner sein als [mm] f(x_{0}) [/mm] der rechten Seite und die Ungleichung wäre bewiesen... Ist das irgendwie Sinnvoll?
lg
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> Beweisen Sie mit Hilfe des MWS für 0 > a > b und n >1 die
> Ungleichung:
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> [mm]b^n[/mm] - [mm]a^n[/mm] < [mm]n(b-a)b^{n-1}[/mm]
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> Hi, ich grübel jetzt seit einer Weile an dieser Aufgabe und
> komme nicht weiter. Ich glaube zwar den MWS verstanden zu
> haben aber kann ihn auf diese Aufgabe nicht so recht
> anwenden.
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> Ich hab mir überlegt, dass ich für beide Seiten der
> Ungleichung eine Funktion formuliere und ableite.
Hallo,
nein, so sollst Du das nicht machen.
Schau Dir jetzt mal als erstes den MWS an.
Jetzt forme ich Deine Gleichunge etwas um:
[mm] \bruch{b^n-a^n}{b-a}
Schau jetzt auf die linke Seite. Was erzählt Dir der MWS?
Nun mußt Du nur noch abschätzen.
Gruß v. Angela
Die
> Funktion wäre jeweils stetig und differenzierbar. Damit
> müsste ich auf beiden Seiten je ein [mm]f'(x_{0})[/mm] erhalten.
> [mm]f(x_{0})[/mm] der linken Ungleichung, müsste dann kleiner sein
> als [mm]f(x_{0})[/mm] der rechten Seite und die Ungleichung wäre
> bewiesen... Ist das irgendwie Sinnvoll?
>
> lg
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Hi,
die linke Ungleichung ist nun also ein Teil des MWS. Der MWS besagt das es zwischen a und b ein [mm] \varepsilon [/mm] gibt mit [mm] f'(\varepsilon)=\bruch{b^n - a^n}{b-a} [/mm] aber wie hilft mir das weiter :-(
lg
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> Hi,
> die linke Ungleichung ist nun also ein Teil des MWS. Der
> MWS besagt das es zwischen a und b ein [mm]\varepsilon[/mm] gibt mit
> [mm]f'(\varepsilon)=\bruch{b^n - a^n}{b-a}[/mm] aber wie hilft mir
> das weiter :-(
Ich schreibs mal weiter um,was du zeigen sollst:
[mm]\bruch{b^n - a^n}{b-a} = f'(\varepsilon) \le nb^{n-1}[/mm]
Ok, was ist denn hier genau dein f(x) ?
Was ist dann [mm] f'(\varepsilon) [/mm] ?
Warum gilt die letzte Ungleichung dann?
MfG,
Gono.
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