Beweis mit Liouville < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] $\gamma:[\alpha,\beta]\rightarrow \mathcal{G}$ [/mm] eine stückweise stetig differenzierbare geschlossene Kurve und es gelte [mm] $Int(\gamma)\subset \mathcal{G}$.
[/mm]
Sei [mm] $f\in \mathcal{O(\mathcal{G})}$. [/mm] Für [mm] $w,z\in \mathcal{G}$ [/mm] bezeichne $g: [mm] \mathbb [/mm] C [mm] \times \mathbb C\rightarrow \mathbb [/mm] C$ mit
[mm] $g(w,z):=\frac{f(w)-f(z)}{w-z}\ \text{falls } w\neq z,\quad [/mm] g(z,z):=f'(z) [mm] \text{falls } [/mm] w=z$
den Differenzenquotienten der Funktion [mm] $f\in \mathcal{O(G)}$.
[/mm]
Zeige: [mm] $\int_{\gamma}g(\zeta,z)d\zeta=0, \quad z\in \mathcal{G}\setminus T_{\gamma}.$
[/mm]
Verwende dabei, dass die Funktion [mm] $h:\mathcal{G}\rightarrow \mathbb [/mm] C$ mit
[mm] $h(z):=\int_{\gamma}g(\zeta,z)d\zeta$
[/mm]
holomorph in [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] ist (ohne Beweis).
Außerdem kann verwendet werden, dass der Differenzenquotient $g$ einer jeden Funktion [mm] $f\in \mathcal{O(\mathcal{G})}$ [/mm] stetig ist in [mm] $\mathcal{G}\times\mathcal{G}$. [/mm] (ohne Beweis)
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Ich habe mal versucht, ein Grundgerüst des Beweises aufzustellen, jedoch bin ich mir nicht sicher, an welcher Stelle ich womit genau argumentieren muss.
Los gehts:
Mit dem Satz von Liouville wird die Behauptung bewiesen, indem wir zeigen, dass die Funktion [mm] $h\in \mathcal{O(\mathcal{G})}$ [/mm] zu einer ganzen Funktion [mm] $\hat{h}\in \mathcal{O(\mathbb C )}$ [/mm] mit [mm] $\lim_{z\rightarrow \infty}\hat{h}(z)=0$ [/mm] fortsetzbar ist.
Man betrachte im Äußeren [mm] $Ext(\gamma)$ [/mm] von [mm] $\gamma$ [/mm] die Funktion [mm] \\
[/mm]
[mm] $\tilde{h}: Ext(\gamma)\rightarrow \mathbb [/mm] C$ mit
[mm] $\tilde{h}(z):=\int_{\gamma}\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta.$
[/mm]
Da nach dem Hinweis $h$ holomorph auf [mm] $\mathcal{G}$ [/mm] ist, ist auch [mm] $\tilde{h}$ [/mm] holomorph auf [mm] $Ext(\gamma)$.
[/mm]
Gemäß Definition von [mm] $Ext(\gamma)$ [/mm] ist
[mm] $\forall z\in Ext(\gamma): [/mm] \ [mm] \int_{\gamma}\frac{1}{\zeta-z}d\zeta=0.$
[/mm]
Also folgt
[mm] $\forall z\in \mathcal{G}\cap Ext(\gamma): [/mm] \ [mm] h(z)=\tilde{h}(z).$
[/mm]
Stets gilt [mm] $\mathbb C=Int(\gamma) \cup \gamma \cup Ext(\gamma)$. [/mm] Zusammen mit der Voraussetzung [mm] $Int(\gamma)\subset\mathcal{G}$ [/mm] folgt daraus, dass [mm] $\mathbb C=\mathcal{G}\cup Ext(\gamma)$. [/mm] Nach dem zweiten Hinweis lässt sich $h$ durch [mm] $\hat{h}:\mathbb C\rightarrow \mathbb [/mm] C$ mit
[mm] $\hat{h}:=\begin{cases}
h(z) \quad \text{für }\ z\in \mathcal{G}\\
\tilde{h}(z) \quad \text{für }\ z\in Ext(\gamma)
\end{cases}$
[/mm]
zu einer ganzen Funktion [mm] $\hat{h}$ [/mm] fortsetzen. Für genügend großes $R>0$ gilt die Inklusion [mm] $Int(\gamma)\subset [/mm] B(0,R)$, wobei $B(0,R)$ eine offene Kreisscheibe mit Radius R um 0 ist. D.h. [mm] $\tilde{h}$ [/mm] und [mm] $\hat{h}$ [/mm] stimmen außerhalb von $B(0,R)$ überein. [mm] \\
[/mm]
Mit [mm] $\tilde{h}$ [/mm] genügt deshalb auch [mm] $\hat{h}$ [/mm] der Gleichung [mm] $\lim\limits_{z\rightarrow\infty}\hat{h}(z)=0$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 22.03.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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