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Beweis mit Lebesgue: stimmt's so?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:59 Do 07.04.2005
Autor: Bastiane

So, bin doch nochmal da! :-)

Aber die Aufgabe hier müsste eigentlich stimmen, denn fast die Gleiche hatten wir mal auf dem Übungsblatt:

Berechnen Sie
[mm] \lim_{n\to\infty}\integral_0^1{(n^2\cos(x)+3nx)^{\bruch{1}{2n}}dx}. [/mm]
Rechtfertigen Sie Ihre einzelnen Rechenschritte.

Ich betrachte zuerst die Klammer, es gilt:
[mm] n^2\cos(x)\le n^2 [/mm]
und
[mm] 3nx\le [/mm] 3n für [mm] x\in [/mm] [0,1]

Dann ist

[mm] |(n^2\cos(x)+3nx)^{\bruch{1}{2n}}|\le (n^2+3n)^\bruch{1}{2n}) [/mm]
wir haben also eine Lebesgue-Schranke und können somit den [mm] \lim [/mm] und das Integral vertauschen:

[mm] \lim_{n\to\infty}\integral_0^1{(n^2\cos(x)+3nx)^{\bruch{1}{2n}}dx} [/mm] = [mm] \integral_0^1{\lim_{n\to\infty}(n^2\cos(x)+3nx)^{\bruch{1}{2n}}dx} [/mm] = [mm] \integral_0^1{1 dx}=1 [/mm]

Stimmt das so?

Jedenfalls fehlt mir noch ein bisschen was, was ich dazu erklären soll.

Also meine Funktion (also die Klammer mit der Potenz) geht doch gegen 1, oder? Die Majorante ist messbar (hoffe ich jedenfalls mal, aber warum?) und dann kann man schon einfach den Satz von Lebesgue anwenden. Oder habe ich da jetzt eine Voraussetzung vergessen?

Viele Grüße
Bastiane
[sunny]

        
Bezug
Beweis mit Lebesgue: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:06 Fr 08.04.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

Ja, es ist alles richtig. Mehr würde ich dazu auch nicht schreiben.

Deine Majorante ist eine konstante Funktion (bezüglich $x$!) auf einem Kompaktum, also insbesondere messbar und integrierbar.

Sehr gut gemacht!! [applaus]

Ich wünsche dir alles Gute und viel Erfolg für deine Klausur heute! [kleeblatt]

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
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