Beweis mit Dreiecksungleichung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:49 Do 28.12.2006 | | Autor: | lene233 |
Hallo
Also man soll beweisen, dass
[mm] \bruch{|a+b|}{1+|a+b|} \le \bruch{|a|}{1+|a|} [/mm] + [mm] \bruch{|b|}{1+|b|}
[/mm]
Zunächst gilt die Dreiecksungleichung, also:
|a+b| [mm] \le [/mm] |a| + |b|
und dann wurde folgendes gemacht:
[mm] \bruch{|a+b|}{1+|a+b|} \le \bruch{|a|+|b|}{1+|a|+|b|} [/mm] = [mm] \bruch{|a|}{1+|a|+||b|} [/mm] + [mm] \bruch{|b|}{1+|a|+|b|}
[/mm]
[mm] \le \bruch{|a|}{1+|a|} [/mm] + [mm] \bruch{|b|}{1+|b|}
[/mm]
Nun versteh ich aber nicht, wie man von der vorletzten auf die letzte Zeile kommt. Wie kommen die beiden Nenner zustande?
lg lene
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 Do 28.12.2006 | | Autor: | Walty |
> Hallo
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> Also man soll beweisen, dass
> [mm]\bruch{|a+b|}{1+|a+b|} \le \bruch{|a|}{1+|a|}[/mm] +
> [mm]\bruch{|b|}{1+|b|}[/mm]
>
> Zunächst gilt die Dreiecksungleichung, also:
>
> |a+b| [mm]\le[/mm] |a| + |b|
>
> und dann wurde folgendes gemacht:
>
> [mm]\bruch{|a+b|}{1+|a+b|} \le \bruch{|a|+|b|}{1+|a|+|b|}[/mm] =
> [mm]\bruch{|a|}{1+|a|+||b|}[/mm] + [mm]\bruch{|b|}{1+|a|+|b|}[/mm]
> [mm]\le \bruch{|a|}{1+|a|}[/mm] + [mm]\bruch{|b|}{1+|b|}[/mm]
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> Nun versteh ich aber nicht, wie man von der vorletzten auf
> die letzte Zeile kommt. Wie kommen die beiden Nenner
> zustande?
Man hat eine Abschätzung durchgeführt...
Ausgehend von der Monotonieeigenschaft [mm] \bruch{x}{1+x} [/mm] = streng monoton steigend
[mm] (\bruch{d}{dx}({\bruch{x}{1+x}}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{(x+1)^2} [/mm] > 0 [mm] \forall x\in \IR [/mm] )
also der Eigenschaft [mm] x_{2}>x_{1} \Rightarrow \bruch{x_{2}}{1+x_{2}}>\bruch{x_{1}}{1+x_{1}}
[/mm]
folgt in Verbindung mit der Dreiecksungleichung
[mm]\bruch{|a+b|}{1+ |a+b|}[/mm] [mm] \rightarrow [/mm] (|a+b| ersetzt durch |a|+|b|)
[mm]\bruch{|a+b|}{1+|a+b|} \le \bruch{|a|+|b|}{1+|a|+|b|}[/mm]
dann wird der Bruch in eine Summe von Brüchen äquivalent umgeformt.
[mm]\bruch{|a|+|b|}{1+|a|+|b|}=\bruch{|a|}{1+|a|+|b|} + \bruch{|b|}{1+|a|+|b|}[/mm]
Im letzten Schritt gilt, wenn der Nenner eines Bruches verkleinert wird, (etwa durch Weglassen eines Summanden |a|,|b| [mm] \ge [/mm] 0) wird der Bruch größer:
[mm] \bruch{|a|}{1+|a|+ |b|} \le \bruch{|a|}{1+|a|}
[/mm]
[mm] \bruch{|b|}{1+|a|+ |b|} \le \bruch{|b|}{1+|b|}
[/mm]
entsprechend natürlich auch die Summe zweier solcher Brüche, welches den letzten Schritt darstellt:
[mm]\bruch{|a|}{1+|a|+||b|}+\bruch{|b|}{1+|a|+|b|}\le\bruch{|a|}{1+|a|}+\bruch{|b|}{1+|b|}[/mm]
hth
Walty
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:59 Do 28.12.2006 | | Autor: | lene233 |
Danke, jetzt verstehe ich es. Super erklärt :)
lg lene
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