Beweis mengentheo. Identität < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 Mo 31.10.2011 | | Autor: | Benito |
| Aufgabe | Beweisen Sie die folgenden mengentheoretischen Identitäten:
M \ (A [mm] \cup [/mm] B) = (M \ A) ∩ (M \ B) |
Hallo.
Ich habe folgendermaßen versucht den Beweis zu führen:
x [mm] \in [/mm] M \ (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \gdw^{1} [/mm] (x [mm] \in [/mm] M) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \not\in [/mm] A [mm] \vee [/mm] B) [mm] \gdw^{2} [/mm] (x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A) [mm] \vee [/mm] (x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B) [mm] \gdw^{1} [/mm] (M \ A) [mm] \cup [/mm] (M \ B) [mm] \not\gdw [/mm] (M \ A) ∩ (M \ B)
1) Def. Differenzmenge und Def. Mengenvereinigung
2) Distributivgesetz
Kann mir jemand sagen wo der Fehler liegt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 Mo 31.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie die folgenden mengentheoretischen
> Identitäten:
>
> M \ (A [mm]\cup[/mm] B) = (M \ A) ∩ (M \ B)
> Hallo.
>
> Ich habe folgendermaßen versucht den Beweis zu führen:
>
> x [mm]\in[/mm] M \ (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\gdw^{1}[/mm] (x [mm]\in[/mm] M) [mm]\wedge[/mm] (x [mm]\not\in[/mm] A
> [mm]\vee[/mm] B) [mm]\gdw^{2}[/mm] (x [mm]\in[/mm] M [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] A) [mm]\vee[/mm] (x [mm]\in[/mm] M
> [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] B) [mm]\gdw^{1}[/mm] (M \ A) [mm]\cup[/mm] (M \ B) [mm]\not\gdw[/mm]
> (M \ A) ∩ (M \ B)
>
> 1) Def. Differenzmenge und Def. Mengenvereinigung
> 2) Distributivgesetz
>
> Kann mir jemand sagen wo der Fehler liegt?
Es gilt:
$x [mm] \notin [/mm] A [mm] \cup [/mm] B$ [mm] \gdw [/mm] $x [mm] \notin [/mm] A$ und $x [mm] \notin [/mm] B$
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 Do 03.11.2011 | | Autor: | Benito |
| Aufgabe | | Nächster Schritt im Beweis |
Danke für die Antwort und Verzeihung für die späte Rückmeldung.
Mein Beweis sieht nun folgendermaßen aus:
x [mm] \in [/mm] M \ (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] (A [mm] \cup [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge \neg(x \in [/mm] A [mm] \vee [/mm] x [mm] \in [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge (\neg(x \in [/mm] A) [mm] \wedge (\neg(x \in [/mm] B)) [mm] \gdw [/mm] ... ?
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Hallo Benito,
> Nächster Schritt im Beweis
> Danke für die Antwort und Verzeihung für die späte
> Rückmeldung.
> Mein Beweis sieht nun folgendermaßen aus:
>
> x [mm]\in[/mm] M \ (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] M [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm]
> B) [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] M [mm]\wedge \neg(x \in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\gdw[/mm] x
> [mm]\in[/mm] M [mm]\wedge (\neg(x \in[/mm] A) [mm]\wedge (\neg(x \in[/mm] B)) [mm]\gdw[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Fülle die letzte Äquivalenz noch einmal mit dem redundanten [mm]x\in M[/mm] auf und beachte, dass [mm]\wedge[/mm] kommutativ ist, also
[mm]... \gdw (x\in M \ \wedge \ x\notin A) \ \wedge \ (x\in M \ \wedge \ x\notin B)...[/mm]
Nun steht's fast schon da ...
Was steht da in den Klammern? ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Do 03.11.2011 | | Autor: | Benito |
Hallo Schachuzipus,
danke für den Tip mit dem redundanten x [mm] \in [/mm] M, ich wusste nicht dass man das machen darf. Damit gehts nun.
Beweis:
x [mm]\in[/mm] M \ (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] M [mm]\wedge[/mm] x [mm]\not\in[/mm] (A [mm]\cup[/mm] B) [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm] M [mm]\wedge \neg(x \in[/mm] A [mm]\vee[/mm] x [mm]\in[/mm] B) [mm]\gdw[/mm]
x [mm]\in[/mm] M [mm]\wedge (\neg(x \in[/mm] A) [mm]\wedge (\neg(x \in[/mm] B)) [mm]\gdw[/mm] (x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge \neg(x \in [/mm] a)) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge \neg(x \in [/mm] B)) [mm] \gdw
[/mm]
(x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] A) [mm] \wedge [/mm] (x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in [/mm] B) [mm] \gdw [/mm] (M \ A) [mm] \cap [/mm] (M \ B)
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