Beweis linear abh. Vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Do 20.10.2005 | | Autor: | zoe |
Hallo liebe Community,
ich verstehe die beiden Fragen zwar, kann das aber nicht wirklich beweisen.
a) Fügt man zu n linear abhängigen Vektoren [mm] \vec{a_1}, \vec{a_2}, [/mm] ... , [mm] \vec{a_n} \in [/mm] V einen beliebigen Vektor aus V hinzu, so sind auch diese n+1 Vektoren linear abhängig.
Linear abhängig bedeutet ja, dass mindestens ein [mm] k_i \not= [/mm] 0 ist.
[mm] k_1 [/mm] * [mm] \vec{a_1} [/mm] + [mm] k_2 [/mm] * [mm] \vec{a_2} [/mm] + ... + [mm] k_n [/mm] * [mm] \vec{a_n} [/mm] = 0.
Aber dann komme ich nicht weiter.
b) Lässt man aus einer Menge von n linear unabhängigen Vektoren [mm] \vec{a_1}, \vec{a_2}, [/mm] ... , [mm] \vec{a_n} \in [/mm] V einen fort, so sind auch die verbleibenden n-1 Vektoren linear unabhängig.
Also vom Ansatz her wie oben, aber [mm] k_1 [/mm] = [mm] k_2 [/mm] = ... = k_(n-1) = [mm] k_n [/mm] = 0.
Fragende Grüße und schon einmal ein liebes Danke im voraus.
*** zoe ***
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Do 20.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi zoe,
a) ist recht einfach, du kannst vorraussetzen, dass ein [mm] k_i [/mm] nicht 0 ist und die Summe, wie du sie angegeben hast, dennoch 0 ist.
Bei der Summe über (n+1) Vektoren, kannst du den Koeffizienten vor dem neuen Vektor als 0 wählen und den Rest wie vorher (insbesondere das [mm] k_i [/mm] nicht 0), dann kommt dennoch 0 als Summe heraus und min. ein Koeffizient ist ungleich 0.
bei der b) würde ich durch Widerspruch argumentieren : angenommen es gäbe nach dem Weglassens eines Vektors eine Möglichkeit die 0 als Summe darzustellen, so dass ein Koeffizient ungleich Null ist - was passiert dann, wenn man den Vektor wie eben zu der Summe dazu fügt? (bzw was folgt dann aus a) ?)
viele Grüße
DaMenge
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