Beweis konvergente Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Fr 12.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_n) [/mm] eine Folge positiver Zahlen, die monoton wachsend und beschränkt ist.
Beweisen Sie, dass die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{a_{n+1}}{a_n}-1)[/mm] konvergent ist.
(Hinweis: Zeigen Sie, dass die Folge der Partialsummen beschränkt ist.) |
Hallo,
ich kann ja umformen: [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n}-\summe_{n=1}^{\infty}1[/mm], wobei ja [mm]\summe_{n=1}^{\infty}1=\infty[/mm] ist, oder? Wie kann ich nun die beiden Summen in Partialsummen zerlegen?
Vielen Dank für die Hilfe, Gruß, Stefan.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Fr 12.12.2008 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm](a_n)[/mm] eine Folge positiver Zahlen, die monoton wachsend
> und beschränkt ist.
> Beweisen Sie, dass die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{a_{n+1}}{a_n}-1)[/mm] konvergent
> ist.
> (Hinweis: Zeigen Sie, dass die Folge der Partialsummen
> beschränkt ist.)
> Hallo,
>
> ich kann ja umformen:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n}-\summe_{n=1}^{\infty}1[/mm],
> wobei ja [mm]\summe_{n=1}^{\infty}1=\infty[/mm] ist, oder? Wie kann
> ich nun die beiden Summen in Partialsummen zerlegen?
>
> Vielen Dank für die Hilfe, Gruß, Stefan.
Hallo,
es ist [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}-1=\bruch{a_{n+1}-a_n}{a_n}, [/mm] und das ist kleiner als [mm] \bruch{a_{n+1}-a_n}{a_1}
[/mm]
Die Reihe [mm] (\bruch{a_{n+1}-a_n}{a_1}) [/mm] konvergiert, denn [mm] \bruch{a_{2}-a_1}{a_1} +\bruch{a_{3}-a_2}{a_1}+\bruch{a_{4}-a_3}{a_1} +...+\bruch{a_{n}-a_{n-1}}{a_1}=\bruch{a_{n}-a_1}{a_1} [/mm] hat einen endlichen Wert für jedes n.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Sa 13.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo Abakus,
> es ist [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_n}-1=\bruch{a_{n+1}-a_n}{a_n},[/mm]
> und das ist kleiner als [mm]\bruch{a_{n+1}-a_n}{a_1}[/mm]
welches Kriterium verwendet man hier? Majorantenkriterium, Quotientenkriterium... ?
> Die Reihe [mm](\bruch{a_{n+1}-a_n}{a_1})[/mm] konvergiert, denn
> [mm]\bruch{a_{2}-a_1}{a_1} +\bruch{a_{3}-a_2}{a_1}+\bruch{a_{4}-a_3}{a_1} +...+\bruch{a_{n}-a_{n-1}}{a_1}=\bruch{a_{n}-a_1}{a_1}[/mm]
> hat einen endlichen Wert für jedes n.
ok, das verstehe ich, aber wie zeige ich, dass die Folge von Partialsummen beschränkt ist?
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
> welches Kriterium verwendet man hier? Majorantenkriterium,
> Quotientenkriterium... ?
Weder noch ... abakus verwendet die Eigenschaft der Monotonie, nach welcher gilt:
[mm] $$\red{a_1} [/mm] \ < \ [mm] a_2 [/mm] \ < \ [mm] a_3 [/mm] \ < \ ... \ [mm] \red{< \ a_n}$$
[/mm]
> ok, das verstehe ich, aber wie zeige ich, dass die Folge
> von Partialsummen beschränkt ist?
Aber nichts anderes hat abakus gezeigt. Denn die Summe von Brüchen auf der linken Seite der gleichung ist doch exakt die Partialsumme [mm] $s_n$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 Sa 13.12.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo Stefan!
>
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> > welches Kriterium verwendet man hier? Majorantenkriterium,
> > Quotientenkriterium... ?
>
> Weder noch ... abakus verwendet die Eigenschaft der
> Monotonie, nach welcher gilt:
>
> [mm]\red{a_1} \ < \ a_2 \ < \ a_3 \ < \ ... \ \red{< \ a_n}[/mm]
>
>
Na, eigentlich ist es schon das Majorantenkriterium, denn ich habe sämtliche Brüche gegen einen Bruck mit dem kleinsten Nenner abgeschätzt (und obwohl dadurch größerer Brücke entstehen, konvergiert die Folge der Partialsummen).
Gruß Abakus
> > ok, das verstehe ich, aber wie zeige ich, dass die Folge
> > von Partialsummen beschränkt ist?
>
> Aber nichts anderes hat abakus gezeigt. Denn die Summe von
> Brüchen auf der linken Seite der gleichung ist doch exakt
> die Partialsumme [mm]s_n[/mm] .
>
>
> Gruß
> Loddar
>
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