Beweis konvergente Reihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Do 03.01.2008 | | Autor: | dieanne |
| Aufgabe | Seien [mm] w_{n} \subset [/mm] C und [mm] z_{n} \subset [/mm] C Folgen mit [mm] \summe_{i=1}^{\infty}|w_{n}|^{2}<\infty [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{\infty}|z_{n}|^{2}<\infty. [/mm] Zeigen Sie, dass dann auch die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}w_{n}*z_{m} [/mm] konvergiert!
[mm] (z_{m} [/mm] soll konjugiert komplexe Zahl [mm] z_{n} [/mm] sein, weil ich nicht wusste wie ich den Strich über dem z machen kann) |
Hallo,
bei dieser Aufgabe zerbreche ich mir schon seit Tagen den Kopf und habe das Gefühl überhaupt keinen Zugang bzw. Ansatz zu finden. Also hier kurz meine jämmerlichen Versuche:
Weil ich gar nicht wusste wie ich das machen könnte, hab ich mir erstmal festgelegt was [mm] w_{n} [/mm] und was [mm] z_{n} [/mm] sein soll
[mm] w_{n}=a_{n}+ib_{n} [/mm] und [mm] z_{n}=c_{n}+id_{n}, [/mm] außerdem weiß ich, dass [mm] |w_{n}|^{2}=a_{n}^{2}+b_{n}^{2}
[/mm]
Weiterhin gilt [mm] a_{n}^{2}+b_{n}^{2} [/mm] ist Nullfolge und das selbe gilt für [mm] z_{n}. [/mm] Dann hab ich noch das Produkt von w mit konjugiert komplexem z ausgerechnet, was mir auch nicht hilft.
Kann mir irgendjemand weiterhelfen???
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Do 03.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien [mm]w_{n} \subset[/mm] C und [mm]z_{n} \subset[/mm] C Folgen mit
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}|w_{n}|^{2}<\infty[/mm] und
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}|z_{n}|^{2}<\infty.[/mm] Zeigen Sie, dass
> dann auch die Reihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty}w_{n}*z_{m}[/mm]
> konvergiert!
>
> [mm](z_{m}[/mm] soll konjugiert komplexe Zahl [mm]z_{n}[/mm] sein, weil ich
> nicht wusste wie ich den Strich über dem z machen kann)
Mit \overline{z_{n}}: [mm]\overline{z_{n}}[/mm].
Die beiden vorgegebenen Reihen sind absolut konvergent, damit ist auch
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}(|w_{n}|^{2}+|z_{n}|^{2}) [/mm]
absolut konvergent.
Benutze: [mm]|w_{n}|^{2}+|z_{n}|^{2} \ge 2 |w_{n}||z_{n}|[/mm] (warum gilt das?)
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Fr 04.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Es tut mir leid, ich kann irgendwie mit der Antwort garnichts anfangen. Ich stehe bestimmt auf der Leitung...
Wieso ist die Summe aus den beiden Reihen automatisch konvergent, wenn die Reihen konvergieren? Ist das immer so? Wozu brauche ich das denn?
Was hilft mir denn die Ungleichung, die ich logisch finde, aber auch nicht herleiten kann, bei der Aufgabe? Ich habe doch das Produkt aus
[mm] \overline{z_{n}}*w_{n}. [/mm] Irgendwie klickt es bei mir noch kein bisschen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Fr 04.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es tut mir leid, ich kann irgendwie mit der Antwort
> garnichts anfangen. Ich stehe bestimmt auf der Leitung...
> Wieso ist die Summe aus den beiden Reihen automatisch
> konvergent, wenn die Reihen konvergieren? Ist das immer
> so?
Das ist immer so.
> Was hilft mir denn die Ungleichung, die ich logisch finde,
> aber auch nicht herleiten kann, bei der Aufgabe? Ich habe
> doch das Produkt aus
> [mm]\overline{z_{n}}*w_{n}.[/mm]
Was sagt dir das Majorantenkriterium?
[mm] \summe \overline{z_{n}}*w_{n} [/mm]
konvergiert (sogar absolut), wenn es eine konvergente Reihe
[mm] \summe a_n [/mm] mit [mm]a_n\ge |\overline{z_{n}}*w_{n} | [/mm]
gibt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Fr 04.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Ja, aber ich weiß doch gar nicht ob [mm] \overline{z_{n}} [/mm] konvergiert.
Ich weiß nur, dass [mm] w_{n} [/mm] und [mm] z_{n} [/mm] und [mm] w_{n}+z_{n} [/mm] konvergieren, dann kenne ich die Abschätzung durch die Ungleichung (kannst du die bitte nochmal ganz kurz begründen/herleiten) und somit weiß ich, dass die Summe aus den beiden eine Majorante zu dem doppelten des Produktes der Bträge ist, aber das sagt mir doch noch nichts über das konjugiert komplexe [mm] z_{n}, [/mm] oder doch?
Dankeschön für deine Erklärungen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:25 Fr 04.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ja, aber ich weiß doch gar nicht ob [mm]\overline{z_{n}}[/mm]
> konvergiert.
Das musst du gar nicht wissen.
> Ich weiß nur, dass [mm]w_{n}[/mm] und [mm]z_{n}[/mm] und [mm]w_{n}+z_{n}[/mm]
> konvergieren,
Du weisst, dass [mm]\summe|w_n|^2[/mm], [mm]\summe |z_n|^2[/mm] und daher [mm]\summe(|w_n|^2+|z_n|^2)[/mm] konvergieren.
> dann kenne ich die Abschätzung durch die
> Ungleichung (kannst du die bitte nochmal ganz kurz
> begründen/herleiten)
Binomische Formel:
[mm]0\le(|w_n|-|z_n|)^2 = |w_n|^2+|z_n|^2 - 2|w_n|*|z_n| [/mm]
> und somit weiß ich, dass die Summe aus
> den beiden eine Majorante zu dem doppelten des Produktes
> der Bträge ist, aber das sagt mir doch noch nichts über
> das konjugiert komplexe [mm]z_{n},[/mm] oder doch?
Nein, aber über das Produkt [mm]\overline{z_n}*w_n[/mm]: was ist denn
[mm]|\overline{z_n}*w_n| [/mm]
durch [mm]|w_n|[/mm] und [mm]|z_n|[/mm] ausgedrückt?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 Fr 04.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Danke, ich glaub so langsam macht es klick. Ich guck es mir morgen früh nochmal in Ruhe an!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Sa 05.01.2008 | | Autor: | dieanne |
Hab ich es jetzt richtig verstanden?
Ich nehme also [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(|w_{n}|^{2}+|z_{n}|^{2})<\infty
[/mm]
als Majorante zu [mm] 2*|w_{n}||z_{n}| [/mm]
Außerdem weiß ich, dass [mm] 2*|w_{n}||z_{n}|=2*|w_{n}*z_{n}|=2*|w_{n}*\overline{z_{n}}| [/mm] (das hab ich noch kurz bewiesen) und somit kann ich [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(|w_{n}|^{2}+|z_{n}|^{2}) [/mm] als Majorante zu [mm] \summe_{i=1}^{\infty}2*|w_{n}*\overline{z_{n}|} [/mm] benutzen, damit weiß ich das [mm] \summe_{i=1}^{\infty}2*|w_{n}*\overline{z_{n}}|<\infty [/mm] ist.
Die 2 kann ich dann ja auch weglassen, weil es ja dann nur noch kleiner wird und das ganze mit der Majorante dann immer noch stimmt.
Ich hab jetzt noch ein Problem:
Ist [mm] |w_{n}*\overline{z_{n}}|>w_{n}*\overline{z_{n}} [/mm] ?
Falls ja, bin ich ja fertig, aber wieso gilt das dann?
Falls nein, wie mach ich denn dann den letzten kleinen Schritt vom Betrag des Produktes zum Produkt?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Sa 05.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hab ich es jetzt richtig verstanden?
>
> Ich nehme also
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(|w_{n}|^{2}+|z_{n}|^{2})<\infty[/mm]
> als Majorante zu [mm]2*|w_{n}||z_{n}|[/mm]
> Außerdem weiß ich, dass
> [mm]2*|w_{n}||z_{n}|=2*|w_{n}*z_{n}|=2*|w_{n}*\overline{z_{n}}|[/mm]
> (das hab ich noch kurz bewiesen) und somit kann ich
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(|w_{n}|^{2}+|z_{n}|^{2})[/mm] als
> Majorante zu
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}2*|w_{n}*\overline{z_{n}|}[/mm] benutzen,
> damit weiß ich das
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}2*|w_{n}*\overline{z_{n}}|<\infty[/mm]
> ist.
> Die 2 kann ich dann ja auch weglassen, weil es ja dann nur
> noch kleiner wird und das ganze mit der Majorante dann
> immer noch stimmt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich hab jetzt noch ein Problem:
> Ist [mm]|w_{n}*\overline{z_{n}}|>w_{n}*\overline{z_{n}}[/mm] ?
Nein, diese Beziehung ist sogar sinnlos, weil du komplexe Zahlen nicht anordnen kannst.
> Falls ja, bin ich ja fertig, aber wieso gilt das dann?
> Falls nein, wie mach ich denn dann den letzten kleinen
> Schritt vom Betrag des Produktes zum Produkt?
Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. Du hast die absolute Konvergenz bewiesen.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo,
ich sitze an der selben aufgabe und habe noch eine kleine frage:
"Die beiden vorgegebenen Reihen sind absolut konvergent, damit ist auch
$ [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(|w_{n}|^{2}+|z_{n}|^{2}) [/mm] $
konvergent"
Warum gilt das denn unbedingt? kann es nciht auch sein, dass, wenn ich das summiere, das dann doch ins unendliche geht? gibt es dafür direkt ein kriterium?
wäre echt nett, wenn mir das nochmal jemand erklären könnte.
vielen dank im voraus, die_conny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Mo 07.01.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
> ich sitze an der selben aufgabe und habe noch eine kleine
> frage:
>
> "Die beiden vorgegebenen Reihen sind absolut konvergent,
> damit ist auch
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(|w_{n}|^{2}+|z_{n}|^{2})[/mm]
>
> konvergent"
>
> Warum gilt das denn unbedingt? kann es nciht auch sein,
> dass, wenn ich das summiere, das dann doch ins unendliche
> geht? gibt es dafür direkt ein kriterium?
Absolut konvergente Reihen darf man beliebig umordnen, und [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(|w_{n}|^{2}+|z_{n}|^{2})[/mm] ist eine Umordnung von [mm]\summe_{i=1}^{\infty}|w_{n}|^{2}+\summe_{i=1}^{\infty}|z_{n}|^{2}[/mm], daher konvergent mit dem gleichen Grenzwert.
Die Behauptung gilt aber auch für nicht absolut konvergente Reihen:
Sind [mm]\summe_{i=1}^{\infty} a_i [/mm] und [mm]\summe_{i=1}^{\infty} b_i [/mm] konvergente Reihen, so konvergiert
[mm]\summe_{i=1}^{\infty}(a_i\pm b_i) [/mm]
und der Grenzwert ist
[mm]\summe_{i=1}^{\infty}(a_i\pm b_i) = \summe_{i=1}^{\infty} a_i \pm \summe_{i=1}^{\infty} b_i [/mm] .
Das folgt aus der Konvergenz der Partialsummenfolgen
[mm] \summe_{i=1}^{n} a_i [/mm] und [mm]\summe_{i=1}^{n} b_i [/mm]
für [mm]n\rightarrow\infty[/mm].
Denn
[mm] \summe_{i=1}^{n}(a_i\pm b_i) = \summe_{i=1}^{n} a_i \pm \summe_{i=1}^{n} b_i [/mm]
und die rechte Seite ist eine konvergente Folge.
Viele Grüße
Rainer
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