Beweis in einem Körper < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:22 Fr 12.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und sei [mm] a\in [/mm] K mit a [mm] \cdot [/mm] a = a.
Beweisen Sie, dass a=0 oder a=1 ist. |
Mein Ansatz:
Das neutrale Element der Multiplikation in diesem Körper ist 1. Wenn ich also a mit 1 multipliziere erhalte ich wieder a.
[mm] a \cdot a = a \cdot 1 = 1 \cdot a = 1 \cdot 1 = a = 1 [/mm]
Geht das so ?
Mit 0 weiss ich nicht weiter.
Danke, Susanne.
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> Sei K ein Körper und sei [mm]a\in[/mm] K mit a [mm]\cdot[/mm] a = a.
> Beweisen Sie, dass a=0 oder a=1 ist.
> Mein Ansatz:
> Das neutrale Element der Multiplikation in diesem Körper
> ist 1. Wenn ich also a mit 1 multipliziere erhalte ich
> wieder a.
> [mm]a \cdot a = a \cdot 1 = 1 \cdot a = 1 \cdot 1 = a = 1[/mm]
>
> Geht das so ?
>
> Mit 0 weiss ich nicht weiter.
Hallo,
es kommt bei dieser Aufgabe darauf an, daß Du die Körperaxiome vorliegen hast.
Du darfst nichts anderes tun als das, was diese erlauben, und um Lorbeeren bei den Korrektoren zu erneten, mußt Du jeden Schritt begründen mit dem entsprechenden Axiom oder Sätzen und Folgerungen daraus, die Ihr bereits bewiesen habt.
Kritische Punkte in Deinem Beweis sind diese Stellen:
1 [mm] \cdot [/mm] a = 1 [mm] \cdot [/mm] 1
1 [mm] \cdot [/mm] 1 = a
a = 1
Fällt Dir hier jeweils eine Begründung ein??? Warum sollte das so sein? Ich seh's nicht... Dü müßtest mich noch überzeugen.
Du mußt jeden Schritt, den Du tust, begründen können. Begründen mit etwas, was in Vorlesung oder Übung dran war.
Und dies mußt Du Dir für den ganzen Rest Deines Studiums merken: tue nichts, was Du nicht begründen kannst, wichtig auch für Seminarvorträge.
Um zur Sache zu kommen: ich vermute, daß bereits gezeigt wurde, daß für gegebenes daß für alle x,y [mm] \in [/mm] K gilt -(xy)=(-x)y=x(-y) und weiter, daß aus xy=0 folgt, daß x=0 oder y=0.
Wenn Du das hast, bist Du bei Deiner Aufgabe recht schnell fertig:
Du startest mit
Sei a [mm] \in [/mm] K mit
a*a=a.
==> a*a+(-a*a)=a+(-a*a)
==> 0=a+(-(a*a)) (denn -a*a ist das Inverse zu a*a)
==> 0=a*1+a(-a) (neutrales Element und oben erwähnte Eigenschaft)
=...
Nun mußt Du das Distributivgesetz nutzen, und dann die Sache mit xy=0.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Fr 12.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Guten Morgen Angela,
vielen Dank für Deine schnelle Hilfe !
> es kommt bei dieser Aufgabe darauf an, daß Du die
> Körperaxiome vorliegen hast.
>
> Du darfst nichts anderes tun als das, was diese erlauben,
> und um Lorbeeren bei den Korrektoren zu erneten, mußt Du
> jeden Schritt begründen mit dem entsprechenden Axiom oder
> Sätzen und Folgerungen daraus, die Ihr bereits bewiesen
> habt.
>
> Kritische Punkte in Deinem Beweis sind diese Stellen:
>
> 1 [mm]\cdot[/mm] a = 1 [mm]\cdot[/mm] 1
> 1 [mm]\cdot[/mm] 1 = a
> a = 1
So besser ?:
Sei a' das Inverse zu a dann gilt:
[mm] a \cdot a' = a' \cdot a = 1 [/mm]
[mm] (a(a \cdot a'))(a(a \cdot a')) = a [/mm]
[mm] (a \cdot 1)(a \cdot 1) = a [/mm]
[mm] a \cdot 1 = \bruch{a}{a \cdot 1} [/mm]
a=1
> Du mußt jeden Schritt, den Du tust, begründen können.
> Um zur Sache zu kommen: ich vermute, daß bereits gezeigt
> wurde, daß für gegebenes daß für alle x,y [mm]\in[/mm] K gilt
> -(xy)=(-x)y=x(-y) und weiter, daß aus xy=0 folgt, daß x=0
> oder y=0.
>
> Wenn Du das hast, bist Du bei Deiner Aufgabe recht schnell
> fertig:
>
> Du startest mit
>
> Sei a [mm]\in[/mm] K mit
>
> a*a=a.
>
> ==> a*a+(-a*a)=a+(-a*a)
>
> ==> 0=a+(-(a*a)) (denn -a*a ist das Inverse zu a*a)
Wie kommst Du denn hier auf der linken Seite auf 0 ?
Ich habe doch nur 1 inverses Element addiert.
>
> ==> 0=a*1+a(-a) (neutrales Element und oben erwähnte
> Eigenschaft)
>
Das verstehe ich auch nicht:
Das würde doch ergeben 0=a+1 ?
Wo ist mein Denkfehler ?
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 Fr 12.10.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Susanne!
> So besser ?:
> Sei a' das Inverse zu a
Aber hat denn jedes a ein Inverses? Dazu mußt du an dieser Stelle Stellung nehmen, das ist der Begleittext, den Angela zu Recht einfordert.
> dann gilt:
> [mm]a \cdot a' = a' \cdot a = 1[/mm]
> [mm](a(a \cdot a'))(a(a \cdot a')) = a[/mm]
>
> [mm](a \cdot 1)(a \cdot 1) = a[/mm]
> [mm]a \cdot 1 = \bruch{a}{a \cdot 1}[/mm]
Bruchstriche kommen meines Wissens in den Körperaxiomen überhaupt nicht vor, was soll er also hier bedeuten? Da ist eine Erklärung fällig, oder du mußt das umschreiben.
> a=1
Also: Der Ansatz mit dem Inversen ist durchaus möglich, aber hier noch etwas stümperhaft durchgeführt. Bei dir stehen 5 Gleichungen logisch unverbunden und ohne jeden Text untereinander. Das geht so nicht (s. Angela).
> > ==> a*a+(-a*a)=a+(-a*a)
> >
> > ==> 0=a+(-(a*a)) (denn -a*a ist das Inverse zu a*a)
> Wie kommst Du denn hier auf der linken Seite auf 0 ?
> Ich habe doch nur 1 inverses Element addiert.
Ja eben, ich habe das bzgl. der Addition (noch besser bzgl. der Verknüpfung +) inverse Element 'addiert', das ergibt das bzgl. der +-Verknüpfung neutrale Element, dem man üblicherweise den Namen '0' gibt.
>
> >
> > ==> 0=a*1+a(-a) (neutrales Element und oben erwähnte
> > Eigenschaft)
> >
> Das verstehe ich auch nicht:
> Das würde doch ergeben 0=a+1 ?
>
> Wo ist mein Denkfehler ?
Dein Denkfehler ist anscheinend, daß dir noch nicht so richtig klar ist, daß es zu einem Körperelement 2 Inverse geben kann, einmal bzgl. + und einmal bzgl. *.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Fr 12.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Dieter,
vielen Dank für Deine Hilfe !
> Aber hat denn jedes a ein Inverses? Dazu mußt du an dieser
> Stelle Stellung nehmen, das ist der Begleittext, den Angela
> zu Recht einfordert.
Ah, es fehlt noch [mm] 0 \not= 1 [/mm] bzw. [mm] K \backslash \{0\} [/mm]
>
> > dann gilt:
> > [mm]a \cdot a' = a' \cdot a = 1[/mm]
> > [mm](a(a \cdot a'))(a(a \cdot a')) = a[/mm]
>
> >
> > [mm](a \cdot 1)(a \cdot 1) = a[/mm]
> > [mm]a \cdot 1 = \bruch{a}{a \cdot 1}[/mm]
>
> Bruchstriche kommen meines Wissens in den Körperaxiomen
> überhaupt nicht vor, was soll er also hier bedeuten? Da ist
> eine Erklärung fällig, oder du mußt das umschreiben.
Ok, dann müsste es so besser sein:
[mm]a \cdot a \cdot a' = a \cdot a' [/mm]
Daraus folgt:
[mm]a \cdot 1 = 1 [/mm]
Das bedeutet: a=1
Ist das dann so mathematisch in Ordnung ?
> Ja eben, ich habe das bzgl. der Addition (noch besser bzgl.
> der Verknüpfung +) inverse Element 'addiert', das ergibt
> das bzgl. der +-Verknüpfung neutrale Element, dem man
> üblicherweise den Namen '0' gibt.
>
> ==> 0=a*1+a(-a) (neutrales Element und oben erwähnte
> Eigenschaft)
Ah, jetzt habe ich es vielleicht verstanden:
Die 0 ist klar, das neutrale Element bringt die linke Seite auf 0 und rechts passiert folgendes:
[mm] 0 = (a-a) + (a \cdot a) [/mm]
Daraus folgt:
[mm] 0 = a \cdot a [/mm] und das geht nur wenn a = 0 ist.
Vielen Dank nach Harburg aus Köln, Susanne.
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> > Aber hat denn jedes a ein Inverses? [...]
> Ah, es fehlt noch [mm]0 \not= 1[/mm] bzw. [mm]K \backslash \{0\}[/mm]
Hallo,
nein, es fehlt etwas anderes.
Du nimmst das Inverse bzgl. der Multiplikation zu a.
Dieter fragt: hat jedes a solch ein Inverses?
Wie ist das in Körpern?
Guck in den Axiomen nach: jedes Element außer der 0 hat ein Inverses bzgl der Multiplikation.
Was Du tust, gilt also nur für [mm] a\not=0.
[/mm]
Sei also a*a=a und [mm] a\not=0.
[/mm]
Nach dem Axiom... gibt es zu a ein inverses Element der Multiplikation a'.
Multiplikation mit a' ergibt
(a*a)*a'=a*a'
==>...
> [mm]a \cdot a \cdot a' = a \cdot a'[/mm]
(Das darfst Du nicht. Die Multiplikation von drei Elementen habt Ihr sicher nicht erklärt. Klammersn setzen und versetzen.)
> Daraus folgt:
> [mm]a \cdot 1 = 1[/mm]
> Das bedeutet: a=1
>
> Ist das dann so mathematisch in Ordnung ?
So in etwa kannst Du es machen.
Ich rate Dir, Dir, sofern Du ein wenig Zeit hast, auch noch meinen ersten Vorschlag zur Bewältigung der Aufgabe anzuschauen.
Es funktioniert etwas anders, und die benötigten Ideen braucht man des öfteren.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Fr 12.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Angela,
> Was Du tust, gilt also nur für [mm]a\not=0.[/mm]
>
> Sei also a*a=a und [mm]a\not=0.[/mm]
Huch, eigentlich bin ich jetzt verwirrt -
ich soll doch gerade beweisen, dass a*a=a für a=0 gilt ?
Was werfe ich denn jetzt durcheinander ?
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> Hallo Angela,
>
> > Was Du tust, gilt also nur für [mm]a\not=0.[/mm]
> >
> > Sei also a*a=a und [mm]a\not=0.[/mm]
>
> Huch, eigentlich bin ich jetzt verwirrt -
> ich soll doch gerade beweisen, dass a*a=a für a=0 gilt ?
>
> Was werfe ich denn jetzt durcheinander ?
Durcheinandergeworfen würde ich nicht sagen.
Es ist ein bißchen (!) so: ich habe eine gestreifte Katze. Hieraus folgt, daß ich ein Haus oder ein gestreiftes Tier habe.
(Das "oder" macht vieles möglich)
Wie können es etwas deutlicher aufschreiben.
Sei a*a=a.
Es ist a=0 oder [mm] a\not=0.
[/mm]
Für [mm] a\not=0 [/mm] gibt es ein inverses (weiter wie gehabt) ==> a=1.
Insgesamt ist jetzt gezeigt, daß aus a*a=a folgt daß a=0 oder a=1 gilt.
(Ich bin ja immer noch ganz verliebt in meinen Vorschlag von vorhin. Dieses Unbehagen, welches Du hier vielleicht hast (es ist nichts Fehlerhaftes!) bleibt Dir dort erspart. Du fängst lustig an zu rechnen und erhältst am Ende ==> a=0 oder a=1.
Wie erwähnt - wenn Du mal Zeit hast, schau es Dir an. Für Deinen Übungszettel solltest Du aber bei Deiner eigenen Idee bleiben, weil es Deine ist, und weil sie funktioniert.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Fr 12.10.2007 | | Autor: | SusanneK |
Vielen vielen Dank !
LG, Susanne.
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