Beweis in der Geometrie < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:13 Mo 12.01.2009 | | Autor: | DonnaW |
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Du hast auf deinem Blatt Papier 10 Punkte. Wenn du drei dieser Punkte miteinander verbindest bekommst du ein Dreieck, deren Flächeninhalt [mm] \le [/mm] 1 ist. Zeige, dass alle 10 Punkte auf deinem Blatt Papier in einem Dreieck liegen und das der Flächeninhalt dieses großes Dreiecks [mm] \le [/mm] 4 ist. Bist du in der Lage dieses zu verallgemeinern? Beweise! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Du hast auf deinem Blatt Papier 10 Punkte. Wenn du drei dieser Punkte miteinander verbindest bekommst du ein Dreieck, deren Flächeninhalt [mm] \le [/mm] 1 ist. Zeige, dass alle 10 Punkte auf deinem Blatt Papier in einem Dreieck liegen und das der Flächeninhalt dieses großes Dreiecks [mm] \le [/mm] 4 ist. Bist
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> Du hast auf deinem Blatt Papier 10 Punkte. Wenn du drei
> dieser Punkte miteinander verbindest bekommst du ein
> Dreieck, deren Flächeninhalt [mm]\le[/mm] 1 ist. Zeige, dass alle 10
> Punkte auf deinem Blatt Papier in einem Dreieck liegen und
> das der Flächeninhalt dieses großes Dreiecks [mm]\le[/mm] 4 ist.
> Bist du in der Lage dieses zu verallgemeinern? Beweise!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Lies Dir bitte einmal die Forenregeln durch,
insbesondere den Passus über eigene Lösungsansätze.
Du wirst dann sehen, daß dieses Forum nicht als Lösungsmaschine gedacht ist.
Wir helfen jedoch im Dialog mit den Fragenden gerne (und oft auch ziemlich ausdauernd) bei der Entwicklung einer Lösung.
Falls Du an so etwas Interesse hast, poste bitte Deine Überlegungen, Ansätze und Fragen, vielleicht kann Dir dann jemand ein Stück weiterhelfen.
Ist das eine normale Schulhausaufgabe?
Gruß v. Angela
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:15 Mo 12.01.2009 | | Autor: | DonnaW |
Sorry, du hast recht !!
Also das ist eine aufgabe für die wir zwei Wochen zeit bekommen haben, also keine hausaufgabe sondern eine Aufgabe über einige Wochen.
Was ich mir überlegt habe ist folgendes:
1.) Wenn ich zunächst mit drei punkten beginne, so habe ich eine dreieck mit einem Flächeninhalt [mm] \le [/mm] 1.
2.) Wenn ich jetzt einen Punkt dazunehme (also vier Punkte) habe ich zwei dreiecke mit dem flächeninhalt [mm] \le [/mm] 1, also doch insgesamt den flächeninhalt [mm] \le [/mm] 2. jetzt kann ich aber aus vier punkten insgesamt vier dreicke machen, von denen aber die beiden kleineren inhalt der beiden größeren dreiecke sind. also bleibt es trotz 4 dreiecke bei [mm] \le [/mm] 2 beim flächeninhalt.
soweit bin ich bis jetzt gekommen, weiß jetzt aber nicht weiter. Wäre nett wenn mir jemand weiter helfen könnte.
Lg Donna
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 Mo 12.01.2009 | | Autor: | DonnaW |
Ich hab jetzt einen kleine tabelle erstellt:
Punkte Dreiecke Fläche
3 1 [mm] \le [/mm] 1
4 4 [mm] \le [/mm] 2
5 8 [mm] \le [/mm] 3
6 13 [mm] \le [/mm] 4?
Wenn ich jetzt 7 punkte habe bekomme ich dann 19 dreieck ? bzw den flächeninhalt [mm] \le [/mm] 4 (was ist wenn ich 8 punkte habe ist dann der fl. schon [mm] \le [/mm] 5 damit wäre die aufgabe doch falsch?)
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Hallo DonnaW,
so ist das nicht gemeint. Der Flächeninhalt [mm] \le1 [/mm] gilt für jedes mögliche Dreieck, das Du aus den 10 Punkten zusammenstellen kannst, und das sind bis zu 120 Dreiecke - nämlich dann, wenn keine drei Punkte auf einer Geraden liegen. Sie überschneiden sich außerdem. Zeichne n Punkte (besser erst einmal weniger als 10, vielleicht 6), und verbinde jeden Punkt mit jedem anderen. Such dann alle möglichen Dreiecke, an deren Ecken vorgegebene Punkte liegen. Schnittpunkte der Verbindungslinien zählen dabei nicht mit!
Die Idee, mit drei Punkten anzufangen, ist aber gut.
Außer im gleichseitigen Dreieck gibt es dann immer eine längste Seite, oder zwei (im gleichschenkligen). Es ist vielleicht hilfreich, diese eine Seite festzulegen. Sie kann allerdings beliebig lang sein. Dann sind die Dreiecke eben nicht so hoch.
In welchem Gebiet kann nun ein vierter Punkt liegen, so dass keines der dadurch neu ermöglichten drei (4-1) Dreiecke die Vorgabe des Flächeninhalts verletzt? Wo kann der fünfte liegen, so dass keines der dadurch neu ermöglichten sechs (10-6) Dreiecke zu groß wird...
Und ganz am Ende: wie konstruiert man das kleinstmögliche Dreieck, so dass alle 10 Punkte in seinem Innern liegen? Welchen Flächeninhalt hat es?
Das ist eine ungewohnte Aufgabe, und sie sieht nicht leicht aus. Auch wenn es letztlich gar nicht so schlimm ist, wenn man die Lösung erst einmal hat. Wenn ich mich nicht irre, ist das Ergebnis für z.B. 171 Punkte mit der gleichen Regel übrigens das gleiche.
lg,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mo 12.01.2009 | | Autor: | DonnaW |
Ersteinmal vielen dank für die antwort.
angefangen hab ich mit deinem tipp 6 punkte; dann habe ich alle möglichen dreiecke gesucht, zuerst den ersten punkt mit allen verbunden, dann den zweiten usw. bei sechs punkten habe ich 13 mögliche dreieicke gefunden. Dann habe ich mal mit 7 punkten versucht :-( 19? neue dreiecke gefunden.
Meine frage jetzt ist, wie ich es zeige, dass wenn ich eine dreieck zeichne, dass alle punkte inne hat, es [mm] \le [/mm] 4 ist, vom flächeninhalt. Das kleinste dreieck zeichne ich, indem ich zwei äußere punkte (bsp. auf der rechten seite) mit einer geraden verbinde, dann (auf der linken seite ) das erneut mache und unten auch, sodass ich das kleinstmögliche dreieck habe. jeweils zwei gerade schneiden sich in einem punkte, sodass ein dreieck entsteht.
Wie zeige ich nur [mm] \le [/mm] 4 ??
Lg Donna
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(Frage) überfällig | | Datum: | 14:49 Mo 12.01.2009 | | Autor: | DonnaW |
Ich hab mir das jetzt nocheinmal angeschaut, und mir ist aifgefallen, dass wenn ich ein sechseck oder ein siebeneck habe, sich in der mitte dieses ein größtes Dreieck versteckt. Wenn ich dieses n-eck in ein dreieck einfassen will enstehen im winkel [mm] \alpha \beta \gamma [/mm] jeweils neue Dreiecke, die mit dem mittleren dreieck eine gemeinsame seite haben, und somit teilweise einen teil des flächeninhalts der anderen dreiecke inne haben.
wenn ich zehn punkte habe, dann alle punkte miteinander verbinde und ein 10 eck habe, dann ein dreieck drumrum bilde, habe ich doch dasselbe vorliegen. D.h. es gibt in der mitte des 10-ecks ein größtes dreieck deren punkte auf den neuen dreieck liegen. jetzt enstehen durch die gerden drei schnittpunkte, also auch drei neue punkte !
darf ich diese neuen punkte für meine argumentation verwenden, denn wenn ja, dann kann ich sagen, dass die drei neuen punkte ebenfalls wieder dreiecke bilden und ebenfalls wieder [mm] \le [/mm] 1 als fläche sind. dann wäre schließlich die aufgabe ohne weiteres für ein 2000 eck dasselbe.
jetzt noch die frage, wie muss ich das mehr oder weniger aufschreiben?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 14.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Das ist nicht einfach mit dem Zählen. Hattet Ihr schon Binomialkoeffizienten, oder weißt Du was eine "Fakultät" ist? Wenn nein: Fakultäten schreibt man mit einem Ausrufungszeichen, und das steht für 4!=1*2*3*4 etc.
Drei beliebige Punkte aus n Punkten zu finden, ist [mm] \vektor{n\\3} [/mm] (gelesen: n über 3) mal möglich, und [mm] \vektor{n}{3}=\bruch{n!}{3!*(n-3)!}.
[/mm]
Das sieht schlimmer aus, als es ist, denn letztlich bleibt nur ein Produkt von drei (wegen der "3") Zahlen im Zähler und drei im Nenner auszurechnen.
[mm] \vektor{3\\3}=\bruch{3*2*1}{1*2*3}=1, \vektor{4\\3}=\bruch{4*3*2}{1*2*3}=4, \vektor{5\\3}=\bruch{5*4*3}{1*2*3}=10, \vektor{6\\3}=\bruch{6*5*4}{1*2*3}=20, [/mm]
[mm] \vektor{7\\3}=\bruch{7*6*5}{1*2*3}=35, \vektor{8\\3}=\bruch{8*7*6}{1*2*3}=56, \vektor{9\\3}=\bruch{9*8*7}{1*2*3}=84, \vektor{10\\3}=\bruch{10*9*8}{1*2*3}=120.
[/mm]
Da kamen die 120 vorhin übrigens her.
Die Frage nach dem "Gebiet", in dem ein neuer Punkt liegen kann, ist ganz geometrisch gemeint. Leg ein Dreieck vor dich, so dass eine Seite waagerecht vor Dir liegt. Diese Seite soll bleiben, und es bekommt eine neue dritte Ecke, aber so, dass die Fläche nicht größer ist als vorher.
Wo kann diese Ecke liegen? Auf jeden Fall über oder unter der Seite, aber wie weit darüber oder darunter? Und wie weit nach links und rechts?
Fang damit erst einmal an. Wenn Du weißt, wie das Gebiet aussieht, wie groß es ist, wo es liegt - dann kannst Du Dein ursprüngliches Dreieck mal nehmen und es so drehen, dass eine andere Seite vor Dir liegt, und das gleiche machen...
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 Mi 14.01.2009 | | Autor: | reverend |
Suchst Du noch die Lösung?
Hast Du den Tipp in meiner letzten Antwort (unten) mal nachverfolgt?
Hast Du das viermal so große Dreieck schon gefunden?
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:44 Mi 14.01.2009 | | Autor: | abakus |
> Suchst Du noch die Lösung?
> Hast Du den Tipp in meiner letzten Antwort (unten) mal
> nachverfolgt?
> Hast Du das viermal so große Dreieck schon gefunden?
>
> lg,
> reverend
Hallo,
ich glaube, hier bietet sich das Extremalprinzip an.
Unter den gegebenen Punkten gibt es zwei, deren Abstand d am allergrößten ist Dann darf kein anderer Punkt zu diesen beiden einen größeren Abstand haben. Wenn man jetzt um diese beiden extremen Punkte jeweils einen Kreis mit dem Radius d konstruiert, müssen alle anderen Punkte im Inneren (oder maximal auf dem Rand der Schnittfläche beider Kreise liegen.
Die Verbindungslinie der beiden extremen Punkte teilt die Schnittfläche wiederum in zwei Hälften.
Die übrigen Punkte können zwar grundsätzlich auf beide Hälften verteilt sein, allerdings dürfen sie nicht allzu weit von der Verbindungslinie entfernt sein.
Wenn wir für beide Häften die Punkte mit dem jeweils größten Abstand zur Verbindungslinie nehmen, darf die Summe ihrer Abstände zur Verbindungslinie nicht größer sein als als der Abstand der beiden extemen Punkte (sonst gäbe es zwei Punkte mit noch größerem Abstand zueinander.
Das "erlaubte Gebiet" hat damit folgende Form:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Da drin liegen alle Punkte und damit alle Dreiecke mit einem Inhalt kleiner 1.
Gruß Abakus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 Mi 14.01.2009 | | Autor: | reverend |
Es geht noch einfacher, abakus, wenn Du das größte mögliche Dreieck aussuchst und es die Bedingung erfüllt. Dann ist das Gesamtgebiet, in dem alle anderen Punkte liegen, genau viermal so groß. Dupliziere das Dreieck dreimal durch Punktspiegelung an den Seitenmittelpunkten. Innerhalb dieses genau viermal so großen Dreiecks müssen alle anderen Punkte liegen. Leicht zu zeigen, man muss es nur tun...
Sei die betrachtete Seite s, die Höhe darüber h, dann muss [mm] A=s*h\le1 [/mm] sein (Voraussetzung). Alle anderen möglichen Eckpunkte, die die Seite zu einem Dreieck nicht größeren Inhalts ergänzen, liegen innerhalb eines unendlich langen Streifens der Breite 2h. Die betrachtete Seite liegt genau auf der mittleren Geraden, die zu beiden Kanten des Streifens parallel ist.
Zu jeder der drei Seiten lässt sich solch ein Streifen eindeutig bestimmen. Jeder "neue" Punkt muss aber innerhalb aller drei Streifen liegen, so dass nur deren Schnittgebiet in Frage kommt. So ergiebt sich das oben genannte Gebiet, das dem ursprünglichen Dreieck ähnlich ist, genau doppelte Seitenlängen hat und um 180° gedreht ist.
Mit Deiner viel genaueren Konstruktion lässt sich die Grenze unter die angegebene 4 senken, m.E. auf [mm] \bruch{4}{9}\wurzel{3}\pi \approx2,4184 [/mm] - das müsste der Grenzwert für unendlich viele Punkte sein. Aber der dazu nötige kompliziertere Nachweis war ja gar nicht gefordert.
lg, reverend
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 10:20 Mi 11.02.2009 | | Autor: | DonnaW |
ich habe mich jetzt längere zeit nicht mit der aufgabe beschäftigt, weil unser kurs eine verlängerung bekommen hat, d.h. wir sollen erst mitte märz abgeben. Seit gestern sitze ich wieder an dieser Aufgabe.
Und das scheint mir so, wie von euch angenommen. Wenn ich zehn Punkte auf meinem Blatt Papier habe und um diese Punkte ein neues Dreieck konstruiere, derart, dass alle Punkte in diesem neuen Dreieck liegen, so liegen auch mindestens drei Punkte genau auf den Seiten des neuen Dreiecks. D.h. dass eigentlich drei neue Punkte dazu kommen ? Die Drei Punkte, die auf dem neuen Dreieck bilden, sind die "Extrempunkte, d.h. die Punkte mit dem weitesten Abstand zueinander. Verbinde ich diese drei Punkte miteinander, so bekomme ich ein neues dreieck in dem umschriebenen dreieck, sodass ich den flächeninhalt kleinergleich 4 habe.
Kann mir jemand sagen, ob das so korrekt ist, bzw. mir einen tipp geben, wie ich das gescheit aufschreiben kann?
Kann mir auch jemand ein Zeichenprogramm empfehlen, das zum matheforum kompatibel ist ?
Danke im Vorraus Donna W.
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Hallo Donna,
so ohne Zeichnung kann ich Deine Lösung gerade nicht nachvollziehen.
Hier habe ich einen vollständigen Lösungsweg skizziert. Mal Dir mal die drei beschriebenen Streifen auf; ihr Schnittgebiet ist das beschrieben größere Dreieck. Es reicht ein Geodreieck, um die Konstruktion aufzuzeichnen.
Für diese Aufgabe brauchst Du daher nicht unbedingt ein Zeichenprogramm. Jedes größere Mathematikprogramm enthält aber eins.
Vielleicht weiß ja jemand, ob FunkyPlot (Link ganz links unten in diesem Fenster!) das kann?
Ich lasse wegen dieser Frage Deine mal auf "teilweise beantwortet".
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Mi 11.02.2009 | | Autor: | DonnaW |
ich habe mir euklid dynageo heruntergeladen. das ist schön einfach und für diese aufgabe geeignet.
Ich glaube mein Problem besteht darin, das ich nicht weiß was ihr genau meint, z.b. mit dem Grenzwert zwischen den punkten oder die Parallelen....
Wenn ich das genauso mache wie ihr sagt, dann habe ich nicht unbedingt eine Parallele am umschriebenen dreieck.
Lg Donna
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Hallo Donna,
abakus schlägt einen völlig anderen Weg vor, der genauer ist, aber schwieriger zu zeigen. Das in der Aufgabenstellung genannte Ergebnis - 4-fache Fläche - legt nahe, dass mein Weg gemeint ist.
Du hast erst einmal keine Parallele in Deinem Dreieck. Du konstruierst sie ja erst aus einem der möglichen Dreiecke, vorzugsweise dem größten. Zu jeder Seite brauchst Du eine Parallele, die durch die gegenüberliegende Ecke geht, und eine, die von der Seite in der entgegengesetzten Richtung gleich weit entfernt ist wie die zuerst konstruierte Parallele. In dem Gebiet zwischen diesen beiden Parallelen müssen alle anderen Punkte liegen. Wenn Du das für alle drei Seiten machst, siehst Du, was entsteht. Alle Punkte müssen im Schnittgebiet dieser drei Streifen liegen.
Wie gesagt, verstehe ich noch nicht, ob Du das gleiche machst oder einen anderen Weg gefunden hast. Bloß weil er noch anders ist, muss er doch nicht falsch sein! Versuch mal, ihn genauer zu erklären oder mit einem Bild zu versehen - ich krieg das allerdings selber gerade auch nicht hin, sorry.
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Mi 11.02.2009 | | Autor: | DonnaW |
Also den Grenzwert der beiden Punkte hab ich so ermittelt wie Abakus. Das erscheint mir, genauso wie dir, der genauere Weg. Wenn ich jetzt das größtmögliche Dreieck ermittelt habe, dann kann ich das doch spielgeln(3-mal) (das hast du ja auch so geschrieben). Wenn jetzt alle anderen Punkte auch innerhalb der drei gespiegelten Dreiecke liegen, so ist die Aufgabe doch gelöst oder ??
Wenn ich die Lösungen von dir und Abakus vereinige, dann kann ich doch auch zum Ergebnis kommen !!
Lg Donna
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Hallo nochmal,
ja, das kannst Du, und es ist sogar ganz schick, weil Du tatsächlich das größte Dreieck ermitteln kannst und erst dann meinen Vorschlag anwendest.
Die Aufgabenstellung verlangt das nicht, sondern setzt ja bereits voraus, dass das größte Dreieck eine Fläche [mm] \le1 [/mm] hat. Ein solches darfst Du dann einfach annehmen. Trotzdem finde ich die Idee gut, genauer vorzugehen.
Grüße,
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:02 Mi 11.02.2009 | | Autor: | DonnaW |
Super,
dann bedanke ich mich bei dir. Falls ich noch einen kleinen tipp brauche, dann schreibe ich nochmal.
Liebe Grüße Donna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 Mi 11.02.2009 | | Autor: | reverend |
Ja klar, gerne.
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mi 14.01.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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