Beweis gleichmäßige Konvergenz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo!
Bei obiger Aufgabe komme ich nicht weiter und würde deswegen gern eure Hilfe in Anspruch nehmen. Die gegebene Reihe $g(z) = [mm] \summe_{k=0}^{\infinity}f_{k}(z)$ [/mm] ist ja an sich nur eine Funktion, die jedem z die entsprechende Partialsumme zuordnet. Aber ich dachte, "gleichmäßige Konvergenz" wäre eine Eigenschaft von Funktionenfolgen? Wo ist mein Denkfehler?
Viele Grüße, Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 Mo 11.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Definition (die hattet Ihr sicher !!)
Die Reihe
[mm] $\summe_{k=0}^{\infty}f_{k}(z) [/mm] $
heißt auf D gleichmäßig konvergent, wenn die Funktionenfolge [mm] (s_n) [/mm] auf D gleichmäßig konvergiert, wobei
[mm] $s_n(z) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}f_{k}(z) [/mm] $ .
Tipp für Deine Aufgabe: betrachte
[mm] $|s_n(z)-s_m(z)|$ [/mm] für n> m
und verwende das Cauchykriterium.
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo und danke für deine Hilfe, Fred!
Also muss ich zeigen, dass die Funktionenfolge
[mm]s_n(z) = \summe_{k=0}^{n}f_{k}(z)[/mm]
gleichmäßig konvergiert. Nun kann ich mit deinem Tipp zunächst zeigen, dass mit n > m wegen
[mm] $|s_n(z)-s_m(z)| [/mm] = [mm] \left|\summe_{k=0}^{n}|f_{k}(z)| - \summe_{k=0}^{m}|f_{k}(z)|\right| [/mm] = [mm] \left|\summe_{k=m+1}^{n}|f_{k}(z)|\right| \le \summe_{k=m+1}^{n}|f_{k}(z)|\right|\le \summe_{k=m+1}^{n}a_{k}\right| [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
weil [mm] \summe_{k=0}^{\infty}a_{k} [/mm] eine konvergente Reihe ist und damit für diese das Cauchy-Kriterium gilt. (ist das sauber?). Damit habe ich gezeigt, dass [mm] (s_{n})_{n\in \IN} [/mm] unabhängig von z eine Cauchy-Folge ist. Daraus folgt, dass [mm] s_{n} [/mm] konvergent ist.
Für gleichmäßige Konvergenz von [mm] f_{n} [/mm] gegen f muss ich doch aber zeigen, dass für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] N\in\IN [/mm] existiert, sodass für alle [mm] n\ge [/mm] N und für alle [mm] x\in [/mm] D gilt:
[mm] $|f_{k}(z)-f(z)| <\epsilon$
[/mm]
Ich frage mich aber gerade, was eigentlich mein f ist? Ist $f = [mm] \summe_{k=0}^{infty}f_{k}(z)$ [/mm] ?
Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Mo 11.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und danke für deine Hilfe, Fred!
>
> Also muss ich zeigen, dass die Funktionenfolge
>
> [mm]s_n(z) = \summe_{k=0}^{n}f_{k}(z)[/mm]
>
> gleichmäßig konvergiert. Nun kann ich mit deinem Tipp
> zunächst zeigen, dass mit n > m wegen
>
> [mm]|s_n(z)-s_m(z)| = \left|\summe_{k=0}^{n}|f_{k}(z)| - \summe_{k=0}^{m}|f_{k}(z)|\right| = \left|\summe_{k=m+1}^{n}|f_{k}(z)|\right| \le \summe_{k=m+1}^{n}|f_{k}(z)|\right|\le \summe_{k=m+1}^{n}a_{k}\right| < \epsilon[/mm]
>
> weil [mm]\summe_{k=0}^{\infty}a_{k}[/mm] eine konvergente Reihe ist
> und damit für diese das Cauchy-Kriterium gilt. (ist das
> sauber?). Damit habe ich gezeigt, dass [mm](s_{n})_{n\in \IN}[/mm]
> unabhängig von z eine Cauchy-Folge ist. Daraus folgt, dass
> [mm]s_{n}[/mm] konvergent ist.
Du hast gezeigt, dass [mm] (s_n) [/mm] auf D gleichmäßig konv.
Jetzt bist Du fertig !
FRED
>
> Für gleichmäßige Konvergenz von [mm]f_{n}[/mm] gegen f muss ich doch
> aber zeigen, dass für alle [mm]\epsilon[/mm] > 0 ein [mm]N\in\IN[/mm]
> existiert, sodass für alle [mm]n\ge[/mm] N und für alle [mm]x\in[/mm] D
> gilt:
>
> [mm]|f_{k}(z)-f(z)| <\epsilon[/mm]
>
> Ich frage mich aber gerade, was eigentlich mein f ist? Ist
> [mm]f = \summe_{k=0}^{infty}f_{k}(z)[/mm] ?
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
|
|
|
| |
|
Hallo und danke für deine Antwort Fred!
Aber warum habe ich schon gezeigt, dass es gleichmäßig konvergent ist? Weil die Wahl von [mm] \epsilon [/mm] unabhängig von z geschieht?
Viele Grüße, Stefan.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Mo 11.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Du hast doch folgendes gezeigt:
Ist [mm] \varepsilon [/mm] > 0, so ex. N [mm] \in \IN [/mm] mit
[mm] \summe_{k= m+1}^{n}a_k [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für n>m> N
Also ist
[mm] $|s_n(z)-s_m(z)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle n>m> N und alle z [mm] \in [/mm] D.
Damit ist nach dem Cauchy-Krit. [mm] (s_n) [/mm] auf D glm. konvergent
FRED
|
|
|
| |
|
Danke für deine Antwort, fred!
Jetzt hab ich es verstanden.
Grüße, Stefan.
|
|
|
|
