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| Aufgabe | | Sei g eine natürliche Zahl, größer 1. Zu zeigen: Jede natürliche Zahl [mm] n\in\IN [/mm] lässt sich eindeutig darstellen in der Form [mm] n=\sum_{i=0}^{m} a_i*g^i [/mm] mit [mm] 0\le a_i\le g-1 [/mm] und [mm] a_m\ne 0 [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich habe versucht obige Aufgabe zu lösen, bin auch auf eine Idee gekommen und wollt mal hören, ob ich das so lassen kann.
mein Beweis:
wähle g=n (weiß ich nicht ob ich das darf) , dann folgt:
[mm] n=a_1*g^1, [/mm] also n=1*n
dies gilt aber nur für g,n>1, daher muss die behauptung noch für n=1 gezeigt werden. Sei nun g eine beliebige Zahl größer 1, dann folgt mit [mm] b^0=1:
[/mm]
[mm] 1=1*g^0 [/mm] <=> 1=1
damit sollte die behauptung für alle natürlichen Zahlen gezeigt sein.
kann ich das so lassen? bin mir nicht so sicher, weils mir dafür ziemlich einfach vorkommt. ansonsten hatte ich überlegt es mit vollständiger induktion zu machen, was aber wahrscheinlich einiges an schreibarbeit wäre. deshalb erst mal so. danke schonmal für alle antworten
gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei g eine natürliche Zahl, größer 1. Zu zeigen: Jede
> natürliche Zahl [mm]n\in\IN[/mm] lässt sich eindeutig darstellen in
> der Form [mm]n=\sum_{i=0}^{m} a_i*g^i[/mm] mit [mm]0\le a_i\le g-1[/mm] und
> [mm]a_m\ne 0[/mm]
> Hallo zusammen!
> Ich habe versucht obige Aufgabe zu lösen,
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich glaube, Du hast überhaupt nicht verstanden, worum es bei der Aufgabe geht, und das will ich Dir erklären, bevor Du dann einen neuen Beweisversuch startest.
Nehmen wir mal g=7.
Es wird jetzt behauptet, daß Du für jede natürliche Zahl, etwa für n=3267, eine Darstellung als endliche Summe von Siebenerpotenzen findest, daß Du also z.B. für 3267 Zahlen [mm] a_i [/mm] mit [mm] 0\le a_i\le [/mm] 6, [mm] a_m\not=0, [/mm] findest so, daß
[mm] 3257=a_m*7^m+a_{m-1}*7^{m-1}+ [/mm] ...+ [mm] a_1*7^1+ a_0*7^0.
[/mm]
Weiter wird behauptet, daß diese Darstellung eindeutig ist.
Vielleicht denkst Du jetzt nochmal ein wenig drüber nach. (Man findet das übrigens auch in vielen Büchern.)
Gruß v. Angela
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