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| Aufgabe | Beweisen sie folgende Implikation!
Wenn es zu jeder Punktfolge {x^(k)} [mm] \subset [/mm] M eine Teilfolge {x^(kn)} [mm] \subset [/mm] {x^(k)} gibt, die gegen einen Punkt y [mm] \in [/mm] M konvergiert, dann ist M eine kompakte Menge. |
So, ich habe mir zu dieser Aufgabe jetzt einige Gedanken gemacht, komme aber leider nicht zum Ziel...
Erstmal weiß ich ja, dass eine beschränkte, abgeschlossene Menge kompakt ist.
Und eine Menge ist beschränkt, wenn ein c > 0 [mm] \in \IR [/mm] so existiert, dass Betrag von x < c [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] M reichtig ist.
Abgeschlossen ist eine Menge dann, wenn jeder Häufungspunkt auch in M liegt.
So nun habe ich mir überlegt, wie ich aus der Konvergenz von Teilfolgen die Beschränktheit und Kompaktheit der Menge ableiten kann. nur leider komme ich da nicht weiter.
Also die Menge M ist eine Menge von Punktfolgen (oder sind da noch andere elemente als punktfolgen drin ?).
und für jede dieser Punktfolgen habe ich eine Teilfolge, die gegen einen Punkt in M konvergiert. Dieser Punkt y, gegen den die Folge konvergiert, ist ja somit ein Häufungspunkt von M, der laut ausgabenstellung ja immer in M ist.
Nun weiß ich aber nicht, ob es auch noch andere Häufungspunkte gibt, die nichti n M liegen. Weil wenn nur eine Teilfolge konvergiert gegen dieses y in M, was ist dann, wenn eine andere z.B. gegen ein z konvergiert, dass nicht in M liegt?
und ich kann ja außerdem sagen, dass diese teilfolgen beschränkt sind, da sie ja gegen einen punktkonvergieren. Aber woher weiß ich, dass dann auch alle punktfolgen beschränkt sein müssen?
also für mich ist im moment nur klar, dass die menge der teilfolgen beschränkt ist und dass die menge der teilfolgen auch eine abgeschlosse menge ist, also eine kompakte menge. aber warum denn dann auch die komplette menge der punktfolgen?
ich komme an diesem punkt einfach nicht weiter und wär froh, wenn mir jemand helfen könnte diesbezüglich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Fr 30.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Conny,
> Beweisen sie folgende Implikation!
> Wenn es zu jeder Punktfolge {x^(k)} [mm]\subset[/mm] M eine
> Teilfolge {x^(kn)} [mm]\subset[/mm] {x^(k)} gibt, die gegen einen
> Punkt y [mm]\in[/mm] M konvergiert, dann ist M eine kompakte Menge.
> So, ich habe mir zu dieser Aufgabe jetzt einige Gedanken
> gemacht, komme aber leider nicht zum Ziel...
>
> Erstmal weiß ich ja, dass eine beschränkte, abgeschlossene
> Menge kompakt ist.
> Und eine Menge ist beschränkt, wenn ein c > 0 [mm]\in \IR[/mm] so
> existiert, dass Betrag von x < c [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] M reichtig
> ist.
> Abgeschlossen ist eine Menge dann, wenn jeder
> Häufungspunkt auch in M liegt.
Deine Überlegungen finde ich schon sehr schön. Hier mein Vorschlag:
Verwende als erstes Kontraposition: $(A [mm] \Rightarrow [/mm] B) [mm] \Leftrightarrow (\neg [/mm] B [mm] \Rightarrow \neg [/mm] A)$
Die Behauptung lautet dann äquivalent:
Wenn M nicht kompakt ist, dann existiert eine Punktfolge [mm] $(x_k)$ [/mm] in M, so daß keine ihrer Teilfolgen gegen einen Punkt y in M konvergiert.
Das zu beweisen sollte nicht allzu schwer sein:
Ist M nicht kompakt, dann ist M entweder nicht abgeschlossen oder nicht beschränkt. Ist M nicht abgeschlossen, dann existiert ein Häufungspunkt von M, der nicht in M liegt. Konstruiere dann einfach eine Folge, die gegen diesen Häufungspunkt konvergiert. Alle Teilfolgen einer konvergenten Folge konvergieren ebenfalls gegen den selben Grenzwert. Ist M nicht beschränkt, dann konstruiere eine Folge, deren n-tes Glied einen Betrag größer als n hat. Damit sind dann auch alle Teilfolgen divergent.
OK?
Gruß
Will
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Okay, dankeschön erstmal für die schnelle antwort!
Also ich bin nun am überlegen, wie ich das ganze aufschreiben kann. habe das jetzt so überlegt:
Beweis durch Kontraposition:
M nicht kompakt [mm] \gdw [/mm] (M nicht abgeschlossen) [mm] \vee [/mm] (M nicht beschränkt) (einschließenden oder)
1. Sei M nicht abgeschlossen
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] y [mm] \not\in [/mm] M mit y ist Häufungspunkt von M
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] {z^(k)} [mm] \in [/mm] M, so dass
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] z^(k) = y
[mm] \Rightarrow \forall [/mm] {z^(kn)} mit n [mm] \in \IN [/mm] :
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] z^(kn) = y
Sei M nicht beschränkt
[mm] \Rightarrow [/mm] es existiert kein c > 0 : Betrag von x^(k) [mm] \le [/mm] c [mm] \forall [/mm] {x^(k)} mit k [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \Rightarrow \exists [/mm] {a^(k)} mit k [mm] \in \IN [/mm] mit Betrag von a^(k) > c [mm] \forall [/mm] c [mm] \in [/mm] [0, + [mm] \infty)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] {a^(k)} ist nicht konvergent
[mm] \Rightarrow [/mm] jede Teilfolge {a^(kn)} ist nicht konvergent
[mm] \gdw [/mm] keine Teilfolge konvergiert gegen einen Punkt y [mm] \in [/mm] M
q.e.d.
Reicht es, wenn ich das so aufschreibe oder fehlt da noch etwas?
Danke schonmal für die hilfe, die_conny
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:42 Fr 30.11.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Conny,
> 1. Sei M nicht abgeschlossen
>
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] y [mm]\not\in[/mm] M mit y ist Häufungspunkt von M
>
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] {z^(k)} [mm]\in[/mm] M, so dass [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] z^(k) = y
hier würde ich einen Zwischenschritt einfügen:
Da y Häufungspunkt von M ist, liegt in jeder Umgebung von y ein Punkt aus M.
Wir können also eine Folge [mm] $(z_n)$ [/mm] in M derart wählen, daß gilt: [mm] $z_i \in U_{\frac{1}{i}}(y) \cap [/mm] M.$ Für diese Folge gilt dann...
> [mm]\Rightarrow \forall[/mm] {z^(kn)} mit n [mm]\in \IN[/mm] : [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] z^(kn) = y
>
>
> Sei M nicht beschränkt
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] es existiert kein c > 0 : Betrag von x^(k) [mm]\le[/mm] c [mm]\forall[/mm] -gelöscht- k [mm]\in \IN[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] {a^(k)} mit k [mm]\in \IN[/mm] mit Betrag von a^(k) > c [mm]\forall[/mm] c [mm]\in[/mm] [0, + [mm]\infty)[/mm]
das reicht nicht: Eine Folge kann auch konvergent sein, wenn alle ihre Glieder einen sehr hohen Betrag haben.
Entscheidend ist das Argument, daß wir hier eine Folge konstruieren können, für die der Betrag der Glieder unbeschränkt wächst. Mein Vorschlag, den Betrag des Folgegliedes an den Index zu koppeln ist wahrscheinlich die einfachste Konstruktion dafür.
> [mm]\Rightarrow[/mm] {a^(k)} ist nicht konvergent
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] jede Teilfolge {a^(kn)} ist nicht konvergent
Vorsicht: Auch nicht konvergente Folgen können konvergente Teilfolgen haben.
Mit meiner Konstruktion oben ist gesichert, daß auch keine Teilfolge konvergiert.
> [mm]\gdw[/mm] keine Teilfolge konvergiert gegen einen Punkt y [mm]\in[/mm] M
Übrigens: Du mußt dich nicht genötigt fühlen, in einem Beweis alles mit mathematischen Formelzeichen aufzuschreiben. Solange die Präzision nicht leidet (das muß für Erstsemester natürlich immer besonders betont werden!) ist eine verbale Beschreibung sogar vorzuziehen, weil sie idR verständlicher ist.
Mathematik bedeutet nicht, einfache Zusammenhänge hinter einem Wust von Formalitäten zu verstecken 
Meiner Ansicht nach ist es sogar eine besonders schätzenswerte Kunst in der Mathematik, schwierige Zusammenhänge leicht durchschaubar darzustellen.
LG
Will
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Mo 03.12.2007 | | Autor: | Tavaril |
Reicht denn das als Beweis schon völlig aus?
Denn die Idee bei der Kontraposition ist ja: [mm] \negB [/mm] => [mm] \negA
[/mm]
Also hier: Wenn M nicht kompakt => es gibt Punktfolgen x^(k) mit teilfolgen x^(kn) von denen keine gegen y [mm] \in [/mm] M konvergiert
Also alle teilfolgen haben Grenzwerte außerhalb der Menge
oder?
Aber hier haben wir doch nur gezeigt, dass man für eine Punktfolge teilfolgen konsturieren kann, die gegen so einen wert laufen, aber nicht, dass es keine anderen teilfolgen gibt, die vielleicht gegen einen punkt p [mm] \in [/mm] M konvergieren. Und das dachte ich wäre hier das wesentliche
Oder ist da am anfang noch was flasch beim "umdrehen" von der aussage A?
danke schonmal ;)
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Di 04.12.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo Tavaril,
> Reicht denn das als Beweis schon völlig aus?
ja.
> Denn die Idee bei der Kontraposition ist ja: [mm]\negB[/mm] =>
> [mm]\negA[/mm]
> Also hier: Wenn M nicht kompakt => es gibt Punktfolgen
> x^(k) mit teilfolgen x^(kn) von denen keine gegen y [mm]\in[/mm] M
> konvergiert
> Also alle teilfolgen haben Grenzwerte außerhalb der Menge
> oder?
ja.
> Aber hier haben wir doch nur gezeigt, dass man für eine
> Punktfolge teilfolgen konsturieren kann, die gegen so einen
> wert laufen, aber nicht, dass es keine anderen teilfolgen
> gibt, die vielleicht gegen einen punkt p [mm]\in[/mm] M
> konvergieren. Und das dachte ich wäre hier das wesentliche
Wenn eine Punktfolge gegen einen Punkt konvergiert, dann konvergieren auch alle Teilfolgen gegen den selben Wert.
LG
Will
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