Beweis für eine Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Verwenden sie [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{k^4}=\frac{\pi^4}{90} [/mm] um
[mm] \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{96} [/mm] zu beweisen. |
Die erste Reihe habe ich schon bewiesen, aber nun heißt es ich soll mich auf die Aufgabe in der ich [mm] "\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{k^4}=\frac{\pi^4}{90}" [/mm] bewiesen habe beziehen und damit auch die andere beweisen.
Ich muss gestehen ich habe keine Ahnung wo ich ansetzen soll. Für die erste habe ich die Parseval'sche Gleichung benutzt, aber für die neue Summe habe ich keine Funktion, so dürfte es mir ja etwas schwer fallen die Gleichung dort anzusetzen.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen ;)
Lg
Erlkoenig
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Fr 07.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Verwenden sie
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{k^4}=\frac{\pi^4}{90}[/mm] um
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}=\frac{\pi^4}{96}[/mm] zu
> beweisen.
> Die erste Reihe habe ich schon bewiesen, aber nun heißt
> es ich soll mich auf die Aufgabe in der ich
> [mm]"\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{k^4}=\frac{\pi^4}{90}"[/mm]
> bewiesen habe beziehen und damit auch die andere beweisen.
>
> Ich muss gestehen ich habe keine Ahnung wo ich ansetzen
> soll. Für die erste habe ich die Parseval'sche Gleichung
> benutzt, aber für die neue Summe habe ich keine Funktion,
> so dürfte es mir ja etwas schwer fallen die Gleichung dort
> anzusetzen.
>
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen ;)
benutze
[mm] $$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)^4}=\blue{\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4}-\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(2k)^4}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4}-\frac{1}{2^4}\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}=\ldots (\star)$$
[/mm]
(Beachte, dass im blauen Teil beide Reihen konvergieren.)
P.S.:
[mm] $\bullet$ [/mm] Bei der obigen Rechnung benutzt man (bspw.)
[mm] $$\left\{\frac{1}{k^4}: k \in \IN\right\}=\left\{\frac{1}{m^4}: m \in \IN \text{ und }m \text{ ungerade}\right\} \cup \left\{\frac{1}{n^4}: n \in \IN \text{ und }n \text{ gerade}\right\}\,,$$
[/mm]
wobei die Vereinigung rechterhand eine disjunkte ist. Bzw.
[mm] $$\left\{\frac{1}{m^4}: m \in \IN \text{ und }m \text{ ungerade}\right\}=\left\{\frac{1}{k^4}: k \in \IN \right\}\setminus\left\{\frac{1}{n^4}: n \in \IN \text{ und }n \text{ gerade}\right\}\,.$$ [/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Bitte beachte, dass bei Deinen Reihen auch unter dem Summenzeichen der richtige Laufindex steht, also z.B. nicht
[mm] $$\sum^{\infty}_{\red{n=1}}\frac{1}{k^4}\,,$$
[/mm]
sondern
[mm] $$\sum^{\infty}_{\blue{k=1}}\frac{1}{k^4}\,.$$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Zum weiteren Verlauf der Rechnung (siehe [mm] $(\star)$) [/mm] oben:
[mm] $\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}\,,$ [/mm] danach [mm] $\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4}$ [/mm] vorklammern, [mm] $1-\frac{1}{16}$ [/mm] ausrechnen und - wie gesagt - das Ergebnis
$$[mm]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^4}=\frac{\pi^4}{90}[/mm]$$
noch einsetzen. Danach kann man kürzen [mm] ($\frac{15}{16}*\frac{1}{90}=\frac{1}{16*6}=\frac{1}{96}$), [/mm] und schon steht das Gewünschte da.
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Fr 07.05.2010 | | Autor: | erlkoenig |
Oh, danke für die schnelle Antwort.
Ich war so vertieft in Integrale und weiß der Kuckuck was, das ich den einfachsten Weg nicht mehr gesehen hab.
Lg
Erlkoenig
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Fr 07.05.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Oh, danke für die schnelle Antwort.
>
> Ich war so vertieft in Integrale und weiß der Kuckuck was,
> das ich den einfachsten Weg nicht mehr gesehen hab.
das ist eine nicht unübliche Gefahr, die ich auch zur Genüge kenne 
LG zurück,
Marcel
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