matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > MatheForen > Lineare Algebra / Vektorrechnung > Beweis für eine Matrix
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung" - Beweis für eine Matrix
Beweis für eine Matrix < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweis für eine Matrix: Frage:
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 Do 24.02.2005
Autor: star_sailor

wunderschönen guten Tag aus SChottland. Ich hab da mal eine Frage:
ich soll für die allgemeine Matrix A =   [mm] \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} [/mm]
beweisen, dass wenn für die matrix die eigenwertformel von
[mm] \lambda^n [/mm] + [mm] \alpha_1*\lambda^{n-1}+...+\alpha_n_-_1*\lambda+\alpha_n=0 [/mm]  gilt,

[mm] A^n+\alpha_1*A^{n-1} +...+\alpha_n_-_1*A+\alpha_n [/mm] = 0 ebenso gültig ist...

wie kann ich das beweisen?? hab schon mehrere anläufe versucht, aber keiner hat mich zum Erfolg gebracht...

danke
#
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Beweis für eine Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Do 24.02.2005
Autor: Julius

Hallo Ronny!

[willkommenmr]

Im allgemeinen Fall verbirgt sich dahinter der Satz von Cayley-Hamilton, dessen Beweis für die Schule sicherlich zu schwierig ist.

Im Falle einer $(2 [mm] \times [/mm] 2)$-Matrix lässt er sich aber natürlich ohne Weiteres direkt nachprüfen:

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von [mm] $A=\pmat{a & b \\ c & d}$: [/mm]

[mm] $CP_A(t) [/mm] = [mm] \det\pmat{ a-t & b & c & d-t} [/mm] = (a-t)(s-t) -bc = [mm] t^2 [/mm] - (a+d) [mm] \cdpt [/mm] r + ad-bc$.

Setzt man da nun die Matrix $A$ ein, so folgt:

[mm] $\pmat{a & b \\ c & d}^2 [/mm] - [mm] (a+b)\cdot \pmat{a & b\\ c & d} [/mm] + (ad-bc) [mm] \cdot \pmat{1 & 0 \\ 0 & 1} [/mm] = [mm] \ldots$. [/mm]

Wenn du das nun weiter ausrechnest, wirst du die Nullmatrix erhalten, was auch zu zeigen war. :-)

Viele Grüße an alle BertiMcVogts-Fans ;-)
Julius
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra / Vektorrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]