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Forum "Integralrechnung" - Beweis für Untersummenformel
Beweis für Untersummenformel < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis für Untersummenformel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Fr 08.09.2006
Autor: gns.nobody

Aufgabe
Führe den Beweis durch Induktion aus

[0² + 1² + 2² + ... + (n-1)²] * 1/n³  --> 1/6 (n-1) * n(n+1) * 1/n³

Hi,
mein problem ist ich hab keine ahnung wie das gehn soll... vielleicht steh ich auch einfach aufm schlauch aber ich wär dankbar für Hilfe...

Das ganze bezieht sich auf das berrechnen der Untersumme

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
        
Bezug
Beweis für Untersummenformel: MatheBank!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:07 Fr 08.09.2006
Autor: informix

Hallo gns.nobody und [willkommenmr],
> Führe den Beweis durch Induktion aus

Dazu liest du dir mal am besten unsere beiden MBBeispiele in der MBMatheBank durch.
>  
> [0² + 1² + 2² + ... + (n-1)²] * 1/n³  --> 1/6 (n-1) *
> n(n+1) * 1/n³
>  Hi,
>  mein problem ist ich hab keine ahnung wie das gehn soll...
> vielleicht steh ich auch einfach aufm schlauch aber ich wär
> dankbar für Hilfe...
>  

Deine Formel stimmt nicht so ganz!
Der Bruch [mm] $\bruch{1}{n^3}$ [/mm] gehört nicht in den Induktionsbeweis, weil du nur die Summenformel beweisen willst:
[mm] $\summe_{i=1}^{n}i^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*n*(n+1)(\red{2}n+1)$ [/mm]

Induktionanfang: n = 1: [mm] $1^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*1*(1+1)(2*1+1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*1*2*3$ [/mm] stimmt!
Induktionsschritt:
Es gelte bereits [mm] $\summe_{i=1}^{n}i^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*n*(n+1)(2n+1)$ [/mm]
dann wollen wir ausrechnen:
[mm] $\summe_{i=1}^{n+1}i^2 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n}i^2 [/mm]  + [mm] (n+1)^2= \bruch{1}{6}*n*(n+1)(2n+1) [/mm] + [mm] (n+1)^2$ [/mm]
$= [mm] \bruch{1}{6}*(n*(n+1)(2n+1) [/mm] + [mm] 6(n+1)^2) [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*(n+1)*\left((2n^2+n)+(6n+6)\right)$ [/mm]

Das vergleichst du jetzt mit dem behaupteten Ergebnis:
[mm] $\summe_{i=1}^{(n+1)}i^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}*(n+1)*((n+1)+1)(2(n+1)+1)$ [/mm]
und erkennst, dass du nur nochprüfen musst, ob
[mm] $\left((2n^2+n)+(6n+6)\right) [/mm] = ((n+1)+1)(2(n+1)+1)$ gilt.

Schafft du das allein - durch Ausrechnen?

Sonst melde dich noch einmal.

Gruß informix


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