Beweis für Potenzregel < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Mo 05.03.2012 | | Autor: | mueller |
| Aufgabe | Beweise, dass für [mm] f(x)=x^n [/mm] gilt:
f'(x)=n*x^(n-1) |
mein ansatz ist:
[mm] bruch{\Delta y} [/mm] / [mm] {\Delta x} =\bruch{f(x+\Delta x)^p -f(x)}{\Delta x} [/mm]
um jetzt das Binom von p zu lösen benötige ich das pascalsches Dreieck, wie kann ich jetzt wieter machen, kennt jemand diesen Beweis?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 Mo 05.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Beweise, dass für [mm]f(x)=x^n[/mm] gilt:
> f'(x)=n*x^(n-1)
> mein ansatz ist:
> [mm]bruch{\Delta y}[/mm] / [mm]{\Delta x} =\bruch{f(x+\Delta x)^p -f(x)}{\Delta x}[/mm]
> um jetzt das Binom von p zu lösen benötige ich das
> pascalsches Dreieck, wie kann ich jetzt wieter machen,
> kennt jemand diesen Beweis?
> Danke
ich schreibe lieber h statt [mm] \Delta [/mm] x. Das Pascalsche Dreieck brauchst Du nicht !
Zunächst gilt für a,b [mm] \in \IR:
[/mm]
[mm] $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1})$ [/mm] für jedes n [mm] \in \IN.
[/mm]
Das kann man leicht mit Induktion zeigen.
Damit ist (setze a:=x+h und b:=x)
[mm] \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}= \bruch{(x+h)^n-x^n}{(x+h)-x}=(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+...+(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}
[/mm]
Jeder Summand rechts geht gegen [mm] x^{n-1} [/mm] für h [mm] \to [/mm] 0
Wieviele Summanden hast Du auf der rechten Seite ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Mo 05.03.2012 | | Autor: | mueller |
Warum hast Du [mm] a^n-b^n [/mm] definiert?
es gibt den Summanden 2 mal, muss aber gestehen, dass ich den Mittelteil nicht ganz verstanden habe. Wie hast Du den Nenner gekürzt? Warum darf ich in Deiner Lösung den Mitteilteil wegfallen lassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Mo 05.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> Warum hast Du [mm]a^n-b^n[/mm] definiert?
Ich hab Dir nur die Formel
$ [mm] a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1}) [/mm] $ für jedes n $ [mm] \in \IN. [/mm] $
mitgeteilt. Die kann man immer mal wieder brauchen. So auch im Beweis für Deine Ableitungsregel.
> es gibt den Summanden 2 mal
Von welchem Summanden sprichst Du ?
> , muss aber gestehen, dass ich
> den Mittelteil nicht ganz verstanden habe.
Was ist der Mittelteil ?
> Wie hast Du den Nenner gekürzt?
Ich verstehe nicht was Du meinst
> Warum darf ich in Deiner Lösung den Mitteilteil wegfallen lassen?
Von was sprichst Du ?
Wir machen das jetzt so: ich kopiere nochmal meine 1. Anwort hier rein:
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ich schreibe lieber h statt $ [mm] \Delta [/mm] $ x. Das Pascalsche Dreieck brauchst Du nicht !
Zunächst gilt für a,b $ [mm] \in \IR: [/mm] $
$ [mm] a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1}) [/mm] $ für jedes n $ [mm] \in \IN. [/mm] $
Das kann man leicht mit Induktion zeigen.
Damit ist (setze a:=x+h und b:=x)
$ [mm] \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}= \bruch{(x+h)^n-x^n}{(x+h)-x}=(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+...+(x+h)x^{n-2}+x^{n-1} [/mm] $
Jeder Summand rechts geht gegen $ [mm] x^{n-1} [/mm] $ für h $ [mm] \to [/mm] $ 0
Wieviele Summanden hast Du auf der rechten Seite ?
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Bitte füge Deine Fragen in obigem Text ein.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Mo 05.03.2012 | | Autor: | mueller |
> Warum hast Du $ [mm] a^n-b^n [/mm] $ definiert?
Ich hab Dir nur die Formel
$ [mm] a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1}) [/mm] $ für jedes n $ [mm] \in \IN. [/mm] $
mitgeteilt. Die kann man immer mal wieder brauchen. So auch im Beweis für Deine Ableitungsregel.
> es gibt den Summanden 2 mal
Von welchem Summanden sprichst Du ?
> , muss aber gestehen, dass ich
> den Mittelteil nicht ganz verstanden habe.
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ich schreibe lieber h statt $ [mm] \Delta [/mm] $ x. Das Pascalsche Dreieck brauchst Du nicht !
Zunächst gilt für a,b $ [mm] \in \IR: [/mm] $
$ [mm] a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1}) [/mm] $ für jedes n $ [mm] \in \IN. [/mm] $
Das kann man leicht mit Induktion zeigen.
Damit ist (setze a:=x+h und b:=x)
$ [mm] \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}= \bruch{(x+h)^n-x^n}{(x+h)-x}=(x+h)^{n-1}+(x+h)^{n-2}x+...+(x+h)x^{n-2}+x^{n-1} [/mm] $
Hier hast Du den Bruch erst mit x erweitert (x-x) und dann fällt der Bruch weg, wenn man sagt h->0 würde es doch auch langen oder?
Jeder Summand rechts geht gegen $ [mm] x^{n-1} [/mm] $ für h $ [mm] \to [/mm] $ 0
Wieviele Summanden hast Du auf der rechten Seite ?
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Bitte füge Deine Fragen in obigem Text ein.
FRED
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