Beweis für Injektivität < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Do 02.06.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | | sei f: [mm] \IN \times \IN \to \IN [/mm] : [mm] f(n,m)=2^n3^m. [/mm] Zeigen sie, dass f injektiv ist |
Hi,
ich habe Probleme, dass hier zu zeigen.
Als Tipp vom Übungsleiter haben wir gesagt bekommen, wir soll die Eigenschaft [mm] n^0=1 [/mm] verwenden [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] (und andere Mengen).
Nur schnall ich nicht wie ich das machen soll, da ja hier n und m die Potenzen sind und aus [mm] \IN [/mm] sind. Damit können sie ja gar nicht Null sein.
Dass die Funktion injektiv ist, ist mir rein vom betrachten schonmal logisch.
Aber der Tipp verwirrt mich gerade eher nur und selber komm ich nicht drauf :(
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> sei f: [mm]\IN \times \IN \to \IN[/mm] : [mm]f(n,m)=2^n3^m.[/mm] Zeigen sie,
> dass f injektiv ist
> Hi,
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> ich habe Probleme, dass hier zu zeigen.
Hallo,
schreib doch erstmal auf, was genau für die Injektivität zu zeigen ist.
Danach würde ich mit Teilbarkeitsüberlegungen weitermachen.
Gruß v. Angela
>
> Als Tipp vom Übungsleiter haben wir gesagt bekommen, wir
> soll die Eigenschaft [mm]n^0=1[/mm] verwenden [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] (und
> andere Mengen).
> Nur schnall ich nicht wie ich das machen soll, da ja hier
> n und m die Potenzen sind und aus [mm]\IN[/mm] sind. Damit können
> sie ja gar nicht Null sein.
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> Dass die Funktion injektiv ist, ist mir rein vom betrachten
> schonmal logisch.
> Aber der Tipp verwirrt mich gerade eher nur und selber
> komm ich nicht drauf :(
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Do 02.06.2011 | | Autor: | Sup |
> Hallo,
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> schreib doch erstmal auf, was genau für die Injektivität
> zu zeigen ist.
Injektivität hieße, wenn [mm] f(n_1, m_1)=f(n_2, m_2) [/mm] dann muss [mm] (n_1, m_1)=(n_2, m_2) [/mm] sein (oder auch [mm] n_1=n_2 [/mm] und [mm] m1_m_2)
[/mm]
> Danach würde ich mit Teilbarkeitsüberlegungen
> weitermachen.
Die 2er Potenz ist immer durch 2 teilbar und die 3er durch 3.
> Gruß v. Angela
>
> >
> > Als Tipp vom Übungsleiter haben wir gesagt bekommen, wir
> > soll die Eigenschaft [mm]n^0=1[/mm] verwenden [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] (und
> > andere Mengen).
> > Nur schnall ich nicht wie ich das machen soll, da ja
> hier
> > n und m die Potenzen sind und aus [mm]\IN[/mm] sind. Damit können
> > sie ja gar nicht Null sein.
> >
> > Dass die Funktion injektiv ist, ist mir rein vom betrachten
> > schonmal logisch.
> > Aber der Tipp verwirrt mich gerade eher nur und selber
> > komm ich nicht drauf :(
>
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Hallo Sup,
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> > Hallo,
> >
> > schreib doch erstmal auf, was genau für die Injektivität
> > zu zeigen ist.
> Injektivität hieße, wenn [mm]f(n_1, m_1)=f(n_2, m_2)[/mm] dann
> muss [mm](n_1, m_1)=(n_2, m_2)[/mm] sein (oder auch [mm]n_1=n_2[/mm] und [mm]m_1=m_2)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> > Danach würde ich mit Teilbarkeitsüberlegungen
> > weitermachen.
> Die 2er Potenz ist immer durch 2 teilbar und die 3er
> durch 3.
> Durch das Produkt müsste sie dann durch alle Vielfache
> von 2 oder 3 teilbar sein.
Ja, bisschen genauer ...
[mm]2^{n_1}\cdot{}3^{m_1}=2^{n_2}\cdot{}3^{m_2}[/mm]
Nun würde ich auf beiden Seiten durch [mm]2^{n_2}[/mm] und durch [mm]3^{m_1}[/mm] teilen.
Dann ergibt sich schnell das Gewünschte ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Do 02.06.2011 | | Autor: | Sup |
> > > Danach würde ich mit Teilbarkeitsüberlegungen
> > > weitermachen.
> > Die 2er Potenz ist immer durch 2 teilbar und die 3er
> > durch 3.
> > Durch das Produkt müsste sie dann durch alle Vielfache
> > von 2 oder 3 teilbar sein.
>
> Ja, bisschen genauer ...
[mm] y=2^n3^m
[/mm]
Dann ist y durch 1, 2, 3, [mm] 2^n, 3^m [/mm] und natürlich durch [mm] 2^n3^m [/mm] ganzzahlig teilbar.
> [mm]2^{n_1}\cdot{}3^{m_1}=2^{n_2}\cdot{}3^{m_2}[/mm]
>
> Nun würde ich auf beiden Seiten durch [mm]2^{n_2}[/mm] und durch
> [mm]3^{m_1}[/mm] teilen.
>
> Dann ergibt sich schnell das Gewünschte ...
[mm] \bruch{2^{n_1}}{2^{n_2}}=\bruch{3^{m_2}}{3^{m_1}}
[/mm]
Naja gut, dann sehe ich wenn [mm] (n_1, m_1)=(n_2, m_2) [/mm] steht da 1=1
Nur ich muss ja zeigen, dass diese Bedingung aus [mm] f(n_1, m_1)=f(n_2, m_2) [/mm] folgt
Ich versteh aber nicht ganz was das aussagt bzw. wie ich damit die Inkektivität zeige.
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Do 02.06.2011 | | Autor: | sangham |
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> [mm]\bruch{2^{n_1}}{2^{n_2}}=\bruch{3^{m_2}}{3^{m_1}}[/mm]
>
> Naja gut, dann sehe ich wenn [mm](n_1, m_1)=(n_2, m_2)[/mm] steht da
> 1=1
> Nur ich muss ja zeigen, dass diese Bedingung aus [mm]f(n_1, m_1)=f(n_2, m_2)[/mm]
> folgt
Da steht jetzt
[mm] 2^{n_1 - n_2} [/mm] = [mm] 3^{m_2 - m_1}
[/mm]
Da 2 [mm] \not= [/mm] 3, beide prim, ist obige Gleichung dann und nur dann erfüllt, wenn
[mm] n_1 [/mm] - [mm] n_2 [/mm] = [mm] m_2 [/mm] - [mm] m_1 [/mm] = 0 ist.
Ergo, [mm] n_1 [/mm] = [mm] n_2 [/mm] UND [mm] m_2 [/mm] = [mm] m_1
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Do 02.06.2011 | | Autor: | Sup |
> Da steht jetzt
> [mm]2^{n_1 - n_2}[/mm] = [mm]3^{m_2 - m_1}[/mm]
> Da 2 [mm]\not=[/mm] 3, beide prim,
> ist obige Gleichung dann und nur dann erfüllt, wenn
> [mm]n_1[/mm] - [mm]n_2[/mm] = [mm]m_2[/mm] - [mm]m_1[/mm] = 0 ist.
> Ergo, [mm]n_1[/mm] = [mm]n_2[/mm] UND [mm]m_2[/mm] = [mm]m_1[/mm]
Auf die Idee das Potenzgesetz anzuwenden hätte ich selber kommen können bin ich Trottel aber natürlich nicht, also danke 
Wenigstens habe ich es kapiert
Hätte noch 2 Fragen:
Warum ist es wichtig, dass 2 und 3 Primzahlen sind?
Und kann jemand mit dem Tipp aus dem Eröffnungsbeitrag was anfangen? Wüsste nämlich gerne was da der Ansatz ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:06 Do 02.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Es ist nicht wichtig, dass sie prim sind, wichtig ist, dass sie teilerfremd sind. Aber wenn du 2 verschiedene Primzahlen hast, ist das automatisch erfüllt.
z.B. wäre [mm] f(m,n)=9^m*10^n [/mm] auch injektiv.
Wenn die Zahlen aber nicht teilerfremd sind, z.B. 2 und 4, so passiert folgendes:
f(2,0)=f(0,1)=4. [mm] \Rightarrow [/mm] f nicht injektiv.
Edit: Ok, 1 sollte so eine Basis auch nicht sein. Also 2 teilerfremde Zahlen >1.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Do 02.06.2011 | | Autor: | sangham |
> > Da steht jetzt
> > [mm]2^{n_1 - n_2}[/mm] = [mm]3^{m_2 - m_1}[/mm]
> > Da 2 [mm]\not=[/mm] 3, beide
> prim,
> > ist obige Gleichung dann und nur dann erfüllt, wenn
> > [mm]n_1[/mm] - [mm]n_2[/mm] = [mm]m_2[/mm] - [mm]m_1[/mm] = 0 ist.
> > Ergo, [mm]n_1[/mm] = [mm]n_2[/mm] UND [mm]m_2[/mm] = [mm]m_1[/mm]
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> Auf die Idee das Potenzgesetz anzuwenden hätte ich selber
> kommen können bin ich Trottel aber natürlich nicht, also
> danke
> Wenigstens habe ich es kapiert
>
> Hätte noch 2 Fragen:
> Warum ist es wichtig, dass 2 und 3 Primzahlen sind?
>
> Und kann jemand mit dem Tipp aus dem Eröffnungsbeitrag was
> anfangen? Wüsste nämlich gerne was da der Ansatz ist.
Der Tipp aus dem eröffnungsbeitrag sagt, dass [mm] 2^0 [/mm] = [mm] 3^0 [/mm] = 1 ist,
das benutzt du bei obiger argumentation. [mm] (n_1 [/mm] = [mm] n_2 \gdw n_1-n_2=0).
[/mm]
Das andere hat Teufel ja schon erklärt.
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