Beweis für Gruppe < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | (a1,b1,c1) * (a2,b2,c2) := (a1+a2,b1+b2+ca*c2,c1+c2)
Beweisen Sie, dass dies eine Gruppe ist... |
Hallo ihr lieben,
die Assoz. habe ich beweisen,
nun möchte ich das neutrale Element beweisen.
Wie mache ich dies am besten?
Als Ergebnis habe ich hier e = (0,0,0) vom "Meister" bekommen ;)
Nur das kann ich ja nicht so einfach hinschreiben..
Muss es ja irgendwie beweisen. . .
Vielen Dank im Voraus,
steffi
|
|
| |
|
Hallo Steffi,
> (a1,b1,c1) * (a2,b2,c2) := (a1+a2,b1+b2+ca*c2,c1+c2)
>
> Beweisen Sie, dass dies eine Gruppe ist... ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Hmm, das ist erst einmal die Definition irgendeiner Verknüpfung.
Was sind die [mm] $a_i, b_i, c_i$? [/mm]
Was ist die Menge G, auf der die Verknüpfung definiert ist?
Du sollst bestimmt zeigen, dass diese Menge $G$ mit der Verknüpfung [mm] $\star$, [/mm] also [mm] $(G,\star)$ [/mm] eine Gruppe ist 
> Hallo ihr lieben,
> die Assoz. habe ich beweisen,
> nun möchte ich das neutrale Element beweisen.
> Wie mache ich dies am besten?
>
> Als Ergebnis habe ich hier e = (0,0,0) vom "Meister"
> bekommen ;)
>
> Nur das kann ich ja nicht so einfach hinschreiben..
> Muss es ja irgendwie beweisen. . .
Ja, rechne es einfach aus:
Zunächst: Ist $(0,0,0)$ überhaupt [mm] $\in [/mm] G$?
Dann: wenn $(0,0,0)$ neutrales Element ist, so muss doch für alle [mm] $(a,b,c)\in [/mm] G$ gelten [mm] $(a,b,c)\star(0,0,0)=(0,0,0)\star(a,b,c)=(a,b,c)$
[/mm]
Nimm dir also ein beliebiges Tripel [mm] $(a,b,c)\in [/mm] G$ her und rechne es aus - benutze dazu einfach die Definition der Verknüpfung [mm] $\star$
[/mm]
Wenn $(0,0,0)$ es als neutrales Element tut, dann bist du fertig, denn wenn es ein neutrales Element gibt, so ist es eindeutig bestimmt.
>
>
> Vielen Dank im Voraus,
> steffi
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Vielen Dank für Deine Hinweise.
In der Tat, ich habe die Aufgabenstellung zu sehr gekürzt :D
Also ich habe es so gemacht:
(a1,b1,c1) * (0,0,0)
= (a1+0,b1+0+a1*0,c1+0)
= (a1,b1,c1)
scheint also das neutrale element zu sein.
Um es mir zu verdeutlichen habe ich es mit (1,1,1) gemacht was folglich nicht klappte.
Nun aber noch eine Frage..
Ich muss es ja einmal von "links" und einmal von "rechts" beweisen oder ?
Und... ist das so wie ich es da oben hingeschrieben hab ein beweis?
Ich kann ja nicht von Anfang an davon ausgehen, dass es 0 oder 1 ist..
Und gibt es nur 0 und 1 als neutrales bei solchen Aufgaben?
Lg,
steffi
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Vielen Dank für Deine Hinweise.
> In der Tat, ich habe die Aufgabenstellung zu sehr gekürzt
> :D
>
> Also ich habe es so gemacht:
>
> (a1,b1,c1) * (0,0,0)
> = (a1+0,b1+0+a1*0,c1+0)
> = (a1,b1,c1)
>
> scheint also das neutrale element zu sein.
zumindest ist es schonmal rechtsneutral
>
> Um es mir zu verdeutlichen habe ich es mit (1,1,1) gemacht
> was folglich nicht klappte.
>
> Nun aber noch eine Frage..
>
> Ich muss es ja einmal von "links" und einmal von "rechts"
> beweisen oder ? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und... ist das so wie ich es da oben hingeschrieben hab ein
> beweis?
Ein halber - es fehlt die Linksneutralität!
Es würde reichen, wenn die Verknüfung kommutativ ist, dann ist Linksneutrales=Rechtsneutrales=Neutrales.
Also zeige entweder die Kommutativität von [mm] $\star$ [/mm] oder noch die Linksneutralität von $(0,0,0)$
> Ich kann ja nicht von Anfang an davon ausgehen, dass es 0
> oder 1 ist..
>
>
> Und gibt es nur 0 und 1 als neutrales bei solchen
> Aufgaben?
Nein, nicht unbedingt, aber ich gehe mal schwer davon aus, dass die Menge $G$, auf der die Verknüpfung definiert ist, der [mm] $\IR^3$ [/mm] ist, oder?
Das Auffinden des neutralen Elementes ist ein bissl Überlegung.
Nennen wir mal das neutrale Element [mm] $e=(e_1,e_2,e_3)$
[/mm]
Es muss [mm] $(a,b,c)\star(e_1,e_2,e_3)=(\blue{a},b,c)$ [/mm] sein.
Nun schaue dir die Definition der Verknüpfung genauer an:
Es ist nach Def. [mm] $(a,b,c)\star(e_1,e_2,e_3)=(a+e_1,b+e_2+c\cdot{}e_3,c+e_3)$
[/mm]
Erste Komponente: da kommt raus [mm] $a+e_1$ [/mm] und das muss [mm] $=\blue{a}$ [/mm] sein, also ist [mm] $e_1$ [/mm] schonmal $=0$
Dann überlegst du weiter: 3.Komponente ist auch klar.
Mit den so ermittelten Komponenten [mm] $e_1$ [/mm] und [mm] $e_3$ [/mm] bekommst du dann auch [mm] $e_2$ [/mm] raus
Versuche doch nun mal, zu einem beliebigen Tripel, sagen wir $(a,b,c)$ das dazu Inverse $(a',b',c')$ zu finden.
Das kannst du wieder komponentenweise basteln, die einzige "Schwierigkeit" bereitet die 2. Komponente $b'$, aber die kriegst du hingebastelt, wenn du $a'$ und $b'$ hast
Bedenke für deine Überlegungen, dass gelten muss: [mm] $(a,b,c)\star(a',b',c')=(a',b',c')\star(a,b,c)=(0,0,0)$
[/mm]
>
>
> Lg,
> steffi
Lieben Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
