Beweis für Bsp. d. New.-Verf. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Fr 26.10.2012 | | Autor: | yace |
| Aufgabe | | Beweise, dass die Approximation [mm] x_{n+1} =\bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{2}{x_{n}}) [/mm] für [mm] \wurzel{2} [/mm] ein Beispiel des Newton-Verfahrens für die Fkt. [mm] f(x)=x^{2}-2 [/mm] ist; bestimmen Sie insbesondere den Anfangswert [mm] x_{0} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie beweise ich das? Wenn ich die Fkt umstelle, dann erhalte ich [mm] x=\wurzel{2}. [/mm] Ist es dann richtig, wenn ich das in [mm] x_{n+1} =\bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{2}{x_{n}}) [/mm] für x einsetzte?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:15 Fr 26.10.2012 | | Autor: | fred97 |
So lautet das Newtonverfahren:
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] x_n [/mm] - [mm] \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} [/mm] .
Zeigen sollst Du:
[mm] $x_n [/mm] - [mm] \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} =\bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{2}{x_{n}}) [/mm] $,
wobei [mm] f(x)=x^2-2.
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Fr 26.10.2012 | | Autor: | yace |
$ [mm] x_n [/mm] - [mm] \frac{x^{2}-2}{2x} =\bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{2}{x_{n}}) [/mm] $
$ [mm] x_n [/mm] - [mm] \frac{x^{2}}{2x} [/mm] - [mm] \frac{2}{2x} =\bruch{1}{2}x_{n}+\bruch{2}{2x_{n}} [/mm] $
Links soll das selbe stehen wie rechts vom Gleichzeichen? Aber das geht doch gar nicht, wenn ich links ein $ [mm] x_n [/mm] $ stehen habe..
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Hallo yace,
> [mm]x_n - \red{\frac{x^{2}-2}{2x}} =\bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{2}{x_{n}})[/mm]
Da soll nicht [mm]\red{\frac{f(x)}{f'(x)}}[/mm] stehen, sondern [mm]\red{\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}}[/mm]
>
> [mm]x_n - \frac{x^{2}}{2x} - \frac{2}{2x} =\bruch{1}{2}x_{n}+\bruch{2}{2x_{n}}[/mm]
>
> Links soll das selbe stehen wie rechts vom Gleichzeichen?
> Aber das geht doch gar nicht, wenn ich links ein [mm]x_n[/mm] stehen
> habe..
Wenn du ganz oben die korrekte linke Seite zusammenfasst, bist du in 2 Schritten bei der rechten Seite ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:23 Fr 26.10.2012 | | Autor: | yace |
> Hallo yace,
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> > [mm]x_n - \red{\frac{x^{2}-2}{2x}} =\bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{2}{x_{n}})[/mm]
>
> Da soll nicht [mm]\red{\frac{f(x)}{f'(x)}}[/mm] stehen, sondern
> [mm]\red{\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}}[/mm]
Danke für die Hilfe, jedoch kann ich damit rein gar nichts anfangen, weil ich zu doof bin. Mein erster Gedanke war, dass ich [mm] \bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{2}{x_{n}} [/mm] für f(x) einsetzen muss. Damit bekomme ich allerdings auch nur Mist raus! So etwas wie [mm] \bruch{1}{x_{n}^{2}}+\bruch{2}{x_n}=\bruch{1}{4}x_n+\bruch{1}{2x_n} [/mm] Nur damit lässt sich auch gar nichts anfangen.
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Hallo nochmal,
> > Hallo yace,
> >
> >
> > > [mm]x_n - \red{\frac{x^{2}-2}{2x}} =\bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{2}{x_{n}})[/mm]
>
> >
> > Da soll nicht [mm]\red{\frac{f(x)}{f'(x)}}[/mm] stehen, sondern
> > [mm]\red{\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}}[/mm]
>
> Danke für die Hilfe, jedoch kann ich damit rein gar nichts
> anfangen, weil ich zu doof bin.
Nana, erstmal in Ruhe hinschreiben:
[mm]x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \ = \ x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n} \ = \frac{2x_n^2}{2x_n}-\frac{x_n^2-2}{2x_n} \ = \ \frac{2x_n^2-x_n^2+2}{2x_n}[/mm]
Nun ist es nicht mehr weit bis zu [mm]\ldots = \ \frac{1}{2}\cdot{}\left(x_n+\frac{2}{x_n}\right)[/mm]
Das kriegst du hin!
> Mein erster Gedanke war,
> dass ich [mm]\bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{2}{x_{n}}[/mm] für f(x)
> einsetzen muss. Damit bekomme ich allerdings auch nur Mist
> raus! So etwas wie
> [mm]\bruch{1}{x_{n}^{2}}+\bruch{2}{x_n}=\bruch{1}{4}x_n+\bruch{1}{2x_n}[/mm]
> Nur damit lässt sich auch gar nichts anfangen.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Fr 26.10.2012 | | Autor: | yace |
Ok, durch rumprobieren hab ich [mm] \frac{2x_n^2-x_n+2}{2x_n}
[/mm]
in [mm] \frac{2x_n^2-x_n}{2x_n} [/mm] + [mm] \frac{2}{2x_n} [/mm] umgestellt. Ist ja dann nicht mehr schwer gewesen. Soweit danke. Kann ich denn jetzt [mm] 2x_n^2-x_n [/mm] einfach von einander abziehen? Ich meine ja nicht. Deswegen komme ich am Ende auf
[mm] \frac{x_n * (2x_n - 1)}{2x_n} [/mm] + [mm] \frac{2}{2x_n} [/mm] Dann kürzen und letztendlich bin ich bei
[mm] \frac{2x_n - 1}{2} [/mm] + [mm] \frac{2}{2x_n}
[/mm]
Die $ -1 $ stört nur noch...
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Hallo yace,
> Ok, durch rumprobieren hab ich [mm]\frac{2x_n^2-x_n+2}{2x_n}[/mm]
Das muss doch lauten:
[mm]\frac{2x_n^2-x_n^{\blue{2}}+2}{2x_n}[/mm]
> in [mm]\frac{2x_n^2-x_n}{2x_n}[/mm] + [mm]\frac{2}{2x_n}[/mm] umgestellt.
> Ist ja dann nicht mehr schwer gewesen. Soweit danke. Kann
> ich denn jetzt [mm]2x_n^2-x_n[/mm] einfach von einander abziehen?
> Ich meine ja nicht. Deswegen komme ich am Ende auf
> [mm]\frac{x_n * (2x_n - 1)}{2x_n}[/mm] + [mm]\frac{2}{2x_n}[/mm] Dann kürzen
> und letztendlich bin ich bei
> [mm]\frac{2x_n - 1}{2}[/mm] + [mm]\frac{2}{2x_n}[/mm]
> Die [mm]-1[/mm] stört nur noch...
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Fr 26.10.2012 | | Autor: | yace |
Das stimmt, mein Fehler.
Also
$ [mm] \frac{2x_n^2-x_n^{2}+2}{2x_n} [/mm] $
Dann
$ [mm] \frac{x_n \cdot{} (2x_n - x_n)}{2x_n} [/mm] + [mm] \frac{2}{2x_n} [/mm] $
Anschließend durch kürzen und zusammenfassen komme ich auf
[mm] \frac{x_n}{2} [/mm] + [mm] \frac{2}{2x_n} [/mm] was ja das Selbe ist wie [mm] \bruch{1}{2}(x_{n}+\bruch{2}{x_{n}})
[/mm]
Folglich müsste ich (wir) dann ja bewiesen haben, dass es ein Beispiel für das Newton-Verfahren ist oder?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Fr 26.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo Wenn du es jetz noch ordentlich zusammenschreibst hast du den Beweis.
Du solltest rechnen üben, oder einfach etwas langsamer umformen, bei jedem schritt sehen ob er auch rückwärts geht, dann sparst du insgesamt viel Zeit!
gruss leduart
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