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| Aufgabe | Sei (G, *) eine Gruppe und a [mm] \in [/mm] G. Zeigen Sie, dass
[mm] \gamma_{a} [/mm] : G -> G und g [mm] \mapsto a^{-1}ga [/mm] ein Automorphismus ist. |
Hallo ihr lieben :)
Also ich soll einen Automorphismus beweisen...
Ich weiß, dass dies eine Abb. von V nach V ist die zusätzlich bijektiv ist.
Den Lösungsweg hab ich schonmal erklärt bekommen aber ich komme einfach nicht wieder drauf.
Ich erinnere, dass man sich eine "Hilfsabbildung" gebastelt hat, damit das a*a^-1 sich aufhebt:
Also:
[mm] \gamma(g) \gamma(h) [/mm] = [mm] a^{-1}g*a*a^{-1}*h*a [/mm] = [mm] a^{-1} [/mm] g*h*a = [mm] \gamma [/mm] (gh)
Was hier gemacht wird ist mir soweit klar.. Aber wozu???
Denn hier geht er direkt weiter zu:
bijektiv: Es gibt eine Umkehrabbbildung [mm] \gamma_{a}(g)^{-1} [/mm] = [mm] \gamma_{a^{-1}} [/mm] (g)
[mm] \gamma^{-1} (\gamma_{a}(g)) [/mm] = [mm] \gamma a^{-1} [/mm] ( [mm] a^{-1} [/mm] * g*a) = [mm] a*a^{-1} g*a*a^{-1} [/mm] = g
sowie
[mm] \gamma [/mm] a ( [mm] \gamma*a^{-1} [/mm] (g) ) = [mm] \gamma a*(a*g*a^{-1}) [/mm] = [mm] a^{-1} [/mm] * a * g * [mm] a^{-1} [/mm] * a = g
Ich blicke hier irgendwie garnicht durch :(
Könnt irh mir das bitte irgendwie erklären was hier gemacht wurde?
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Hallo Stefanie,
versuche bitte uznbedingt, die Indizes sorgfältiger zu setzen und benutze die Vorschaufunktion. Dann kannst du bei Bedarf vor dem Absenden editieren!
So ist es kaum lesbar, aber ich versuch's mal:
> Sei (G, *) eine Gruppe und a [mm]\in[/mm] G. Zeigen Sie, dass
> [mm]\gamma_{a}[/mm] : G -> G und g [mm]\mapsto a^{-1}ga[/mm] ein
> Automorphismus ist.
> Hallo ihr lieben :)
>
> Also ich soll einen Automorphismus beweisen...
> Ich weiß, dass dies eine Abb. von [mm] \red{G} [/mm] nach [mm] \red{G} [/mm] ist die
> zusätzlich bijektiv ist.
ja, genauer ein (Gruppen-)Homomorphismus von [mm] $G\to [/mm] G$, der bijektiv ist
>
>
> Den Lösungsweg hab ich schonmal erklärt bekommen aber ich
> komme einfach nicht wieder drauf.
>
> Ich erinnere, dass man sich eine "Hilfsabbildung" gebastelt
> hat, damit das a*a^-1 sich aufhebt:
>
> Also:
>
>
> [mm]\blue{\gamma(g)}\red{ \gamma(h)}[/mm] = [mm]\blue{a^{-1}g*a}*\red{a^{-1}*h*a}[/mm] =
[mm] $=(a^{-1}g)(aa^{-1})(ha)=$
[/mm]
[mm] $=a^{-1}(gh)a [/mm] $
> = [mm]\gamma[/mm] (gh)
>
> Was hier gemacht wird ist mir soweit klar.. Aber wozu???
Das ist doch genau die Homomorphieeigenschaft: [mm] $\gamma_a(gh)=\gamma_a(g)\gamma_a(h)$
[/mm]
dh. es ist dasselbe, ob du zuerst verknüpfst und dann abbildest oder zuerst abbildest und dann verknüpfst
Das wird hier stumpf ausgerechnet, ich habe mal nen Zwischenschritt eingefügt. Du kannst Klammern nach gusto setzen, denn die Verknüfung ist assoziativ in G
>
> Denn hier geht er direkt weiter zu:
>
> bijektiv: Es gibt eine Umkehrabbbildung [mm]\gamma_{a}(g)^{-1}[/mm]
> = [mm]\gamma_{a^{-1}}[/mm] (g)
>
>
> [mm]\gamma^{-1} (\gamma_{a}(g))[/mm] = [mm]\gamma a^{-1}[/mm] ( [mm]a^{-1}[/mm] * g*a)
> = [mm]a*a^{-1} g*a*a^{-1}[/mm] = g
>
> sowie
>
> [mm]\gamma[/mm] a ( [mm]\gamma*a^{-1}[/mm] (g) ) = [mm]\gamma a*(a*g*a^{-1})[/mm] =
> [mm]a^{-1}[/mm] * a * g * [mm]a^{-1}[/mm] * a = g
>
>
> Ich blicke hier irgendwie garnicht durch :(
>
> Könnt irh mir das bitte irgendwie erklären was hier gemacht
> wurde?
Eine Abbildung (also insbesondere ein Homomorphismus) ist bijektiv genau dann, wenn eine Umkehrabbildung existiert.
Die wurde hier angegeben als [mm] $\left(\gamma_a\right)^{-1}:=\gamma_{a^{-1}}$ [/mm] mit
[mm] $\gamma_{\blue{a^{-1}}}:G\to [/mm] G \ , \ [mm] g\mapsto \blue{\left(a^{-1\right)}}^{-1}g\blue{a^{-1}}=aga^{-1}$
[/mm]
Dann wird ausgerechnet, dass diese auch wirklich die Umkehrabbildung zu [mm] $\gamma_a$ [/mm] ist
Dazu wird gezeigt, dass [mm] $(\gamma_a\circ\gamma_{a^{-1}})(g)=\gamma_a(\gamma_{a^{-1}}(g))=g$ [/mm] ist und ebenfalls [mm] $(\gamma_{a^{-1}}\circ\gamma_a)(g)=\gamma_{a^{-1}}(\gamma_a(g))=g$
[/mm]
Dazu wird die Definition der Abbildungen benutzt und einfach geradeaus gerechnet.
Klärt das deine Frage? Versuche, die Rechnung Schritt für Schritt nachzuvollziehen.
Es wird nur die Definition benutzt.
Schrei' laut, wenn dir noch was unklar ist 
Lieben Gruß
schachuzipus
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Entschuldige..
Werde die Vorschaufunktion nutzen :)
zu:
[mm]\blue{\gamma(g)}\red{ \gamma(h)}[/mm] = [mm]\blue{a^{-1}g*a}*\red{a^{-1}*h*a}[/mm] =
[mm] $=(a^{-1}g)(aa^{-1})(ha)=$ [/mm]
[mm] $=a^{-1}(gh)a [/mm] $
= [mm]\gamma[/mm] (gh)
dern vorletzten auf den letzten Schritt verstehe ich nicht.
Was passiert mit dem [mm] a^{-1} [/mm] und a ...
Es wird ja nicht einfach mit einander Multipliziert....
Den restlichen Teil muss ich mir morgen anschauen.
Denke wenn ich ausgeschlafen bin verstehe ich den besser. Habe aber schon eine kleine Vermutung :)
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Hallo nochmal,
> Entschuldige..
> Werde die Vorschaufunktion nutzen :)
>
>
> zu:
>
> [mm]\blue{\gamma(g)}\red{ \gamma(h)}[/mm] =
> [mm]\blue{a^{-1}g*a}*\red{a^{-1}*h*a}[/mm] =
>
> [mm]=(a^{-1}g)(aa^{-1})(ha)=[/mm]
>
> [mm]=a^{-1}(gh)a[/mm]
>
> = [mm]\gamma[/mm] (gh)
>
> dern vorletzten auf den letzten Schritt verstehe ich
> nicht.
> Was passiert mit dem [mm]a^{-1}[/mm] und a ...
> Es wird ja nicht einfach mit einander Multipliziert....
sagen wir: sie werden verknüpft, ich habe die Verknüpfung multiplikativ geschrieben, bzw teilweise ohne Verknüpfungszeichen, das ist streng genommen etwas ungenau ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Also denke dir überall ein [mm] $\cdot{}$ [/mm] oder ein * dazwischen, wie auch immer das Verknüpfungszeichen aussehen soll
ok, im vorletzten Schritt:
Wir hatten: [mm] $(a^{-1}g)(aa^{-1})(ha)$
[/mm]
Das war klar, oder? Das sind allesamt Gruppenelemente, die da verknüpft sind, die Verknüpfung in einer Gruppe ist assoziativ, man kann also umklammern, wie man will
Nun ist aber in der mittleren Klammer [mm] $(aa^{-1})=e_G$ [/mm] das neutrale Element in G, also wird der ganze Ausdruck zu [mm] $(a^{-1}g)e_G(ha)$
[/mm]
Das neutrale Element tut nicht weh, es macht nix, kannste also weglassen
Dann wird daraus also [mm] $(a^{-1}g)(ha)$
[/mm]
Nun wieder umklammern wegen der Assoziativität der Verknüpfung in G
Das gibt schließlich [mm] $a^{-1}(gh)a$
[/mm]
Und das ist genau [mm] $\gamma_a(gh)$ [/mm] per Definition der Abbildung [mm] $\gamma_a$
[/mm]
> Den restlichen Teil muss ich mir morgen anschauen.
> Denke wenn ich ausgeschlafen bin verstehe ich den besser.
> Habe aber schon eine kleine Vermutung :)
Das ist gut
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
schachuzipus
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Hallo wieder :)
Also da es ein Automorphismus ist, können wir immer(?) sagen, dass eine Umkehrabbildung existiert..
D.h. ja, ich invertiere alle Elemente. Korrekt?
Aus [mm] a^{-1} [/mm] wird [mm] (a^{-1})^{-1} [/mm] usw...
Aber wieso passiert nichts mit dem "g"? Sondern nur die a's werden Invertiert...
Liebe Grüße
Steffi
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Hallo noch einmal,
> Hallo wieder :)
>
> Also da es ein Automorphismus ist, können wir immer(?)
> sagen, dass eine Umkehrabbildung existiert.. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber wir wissen ja eigentlich noch nicht, dass es ein Automorphismus ist.
Das wollen wir ja zeigen.
Genau dann, wenn eine Abbildung $f$ bijektiv ist, existiert eine (die) Umkehrabbildung [mm] $f^{-1}$
[/mm]
Im ersten Schritt wurde gezeigt, dass [mm] $\gamma_a$ [/mm] ein Homomorphismus ist, das war also abgehakt, es blieb die Bijektivität von [mm] $\gamma_a$ [/mm] zu zeigen.
Dazu hat man sich einfach eine (vermeindliche) Umkehrabbildung definiert, nämlich [mm] $(\gamma_a)^{-1}=\gamma_{a^{-1}}$
[/mm]
Nun musste man natürlich noch zeigen, dass diese so definierte Abbildung [mm] $\gamma_{a^{-1}}$ [/mm] auch wirklich die Umkehrabbildung zu [mm] $\gamma_a$ [/mm] ist
Wie ist das Verhältnis einer Abbildung $f$ und der Umkehrabbildung [mm] $f^{-1}$?
[/mm]
Doch, dass gilt [mm] $f\circ f^{-1}=id$ [/mm] und ebenso [mm] $f^{-1}\circ [/mm] f=id$
dh. zu zeigen ist hier, dass [mm] $\forall g\in [/mm] G: [mm] (\gamma_a\circ\gamma_{a^{-1}})(g)=(\gamma_{a^{-1}}\circ\gamma_a)(g)=id(g)=g$ [/mm] gilt
>
> D.h. ja, ich invertiere alle Elemente. Korrekt? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Aus [mm]a^{-1}[/mm] wird [mm](a^{-1})^{-1}[/mm] usw...
Jein, das braucht man für die Definition der Umkehrabbildung
Das stimmt insofern, als dass alle Elemente einer Gruppe ja invertierbar sind, man braucht diese Tatsache hier insbesondere, um die obige Umkehrabbildung zu definieren
>
> Aber wieso passiert nichts mit dem "g"? Sondern nur die a's
> werden Invertiert...
Nochmal: Die Abbildung [mm] $\gamma_a$ [/mm] ist doch für ein festes [mm] $a\in [/mm] G$ so definiert:
[mm] $\gamma_{\red{a}}:G\to [/mm] G \ , \ [mm] g\mapsto \red{a}^{-1}g\red{a}$
[/mm]
dh. du kannst für jedes Element der Gruppe eine solche Abbildung definieren, also insbesondere auch für das Element [mm] $a^{-1}$
[/mm]
Das ist dann [mm] $\gamma_{\blue{a^{-1}}}:G\to [/mm] G \ , \ [mm] g\mapsto \blue{\left(a^{-1}\right)}^{-1}g\blue{a^{-1}}=aga^{-1}$
[/mm]
Und das soll die Umkehrabbildung zu [mm] $\gamma_a$ [/mm] sein, dies wird durch direktes Nachrechnen gezeigt, also ist [mm] $\gamma_a$ [/mm] bijektiv und außerdem ein Homomorphismus von [mm] $G\to [/mm] G$, also insgesamt ein Automorphismus
>
>
> Liebe Grüße
>
> Steffi
Gruß
schachuzipus
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Schachuzipus, Du bist Gold wert :)
Endlich weiß ich worum es hier geht und glaube es auch zu 95% verstanden zu haben :)
Eine Kleinigkeit jedoch noch...
Diese Richtung habe ich verstanden:
[mm] \gamma_{a}(\gamma_{a^{-1}}) [/mm] = [mm] \gamma_{a}(a\*g\*a^{-1}) [/mm] = [mm] a^{-1}\*a\*g\*a^{-1}\*a [/mm] = g
Bei der anderen Richtung habe ich noch Probleme...
Weil merke gerade ich habe hier was anderes von der Tafel abgeschrieben als Du es aufgeschrieben hast..
Vielleicht habe ich es aber auch nur falsch abgeschrieben:
Bei mir steht:
[mm] \gamma^{-1}_{a}(\gamma_{a}(g)) [/mm] = [mm] \gamma_{a^{-1}}\*(a^{-1}\*g\*a) [/mm] = [mm] a\*a^{-1}\*g\*a\*a^{-1} [/mm] = g
Ich verstehe nicht, wie sich das [mm] \gamma^{-1}_{a} [/mm] auswirkt..
Also das hoch -1 beim Homomorphismus selber..
Bei der "anderen Richtung" oben ist es mir klar: [mm] \gamma_{a^{-1}}
[/mm]
Liebe Grüße und vielen vielen Dank für Deine Geduld
steffi
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Hallo Steffi,
letzter Versuch
> Schachuzipus, Du bist Gold wert :)
Nana, danke ![[peinlich]](/images/smileys/peinlich.gif "[peinlich]")
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> Endlich weiß ich worum es hier geht und glaube es auch zu
> 95% verstanden zu haben :)
gut!
>
> Eine Kleinigkeit jedoch noch...
>
> Diese Richtung habe ich verstanden:
>
>
> [mm]\gamma_{a}(\gamma_{a^{-1}})[/mm] = [mm]\gamma_{a}(a\*g\*a^{-1})[/mm] =
> [mm]a^{-1}\*a\*g\*a^{-1}\*a[/mm] = g
>
>
> Bei der anderen Richtung habe ich noch Probleme...
>
> Weil merke gerade ich habe hier was anderes von der Tafel
> abgeschrieben als Du es aufgeschrieben hast..
>
> Vielleicht habe ich es aber auch nur falsch abgeschrieben:
>
> Bei mir steht:
>
>
> [mm]\gamma^{-1}_{a}(\gamma_{a}(g))[/mm] =
> [mm]\gamma_{a^{-1}}\*(a^{-1}\*g\*a)[/mm] = [mm]a\*a^{-1}\*g\*a\*a^{-1}[/mm] =
> g
Habe ich das nicht auch aufgeschrieben?
> Ich verstehe nicht, wie sich das [mm]\gamma^{-1}_{a}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> auswirkt..
> Also das hoch -1 beim Homomorphismus selber..
Mit $(\gamma_a)^{-1}$ wird die Umkehrabbildung zu $\gamma_a$ bezeichnet, und die ist halt genau $(\gamma_a)^{-1}=\gamma_{a^{-1}}$
Ich schreibe mal ne andere Variable: Nimm mal an, es sei $b\in G$
Dann ist $\gamma_b$ diese Abb.: $\gamma_b:G\to G \ , \ g\mapsto b^{-1}\star g\star b$
Eine solche Abbildung kann man für jedes Element aus G definieren, also auch für das Element a^{-1} (siehe oben)
Das ist die Abbildung $\gamma_{a^{-1}}:G\to G \ , \ g\mapsto \left(a^{-1}\right)^{-1}\star g\star a^{-1}$
So sind diese Abbildungen ja definiert, einfach b durch a^{-1} ersetzt
Nun ist aber $\left(a^{-1}\right)^{-1}=a$, also vereinfacht sich das zu
$\gamma_{a^{-1}}:G\to G \ , \ g\mapsto a\star g\star a^{-1}$
Nun wird behauptet, dass genau dies die Umkehrabbildung von $\gamma_a$ ist
Die eine Richtung $\gamma_a\circ\gamma_{a^{-1}}=id$ hast du
"Rückrichtung": Sei $g\in G$ beliebig, dann ist
$(\gamma_{a^{-1}}\circ\gamma_a})(g)=\gamma_{a^{-1}}(\blue{\gamma_a(g)})=a\star \blue{(a^{-1}\star g\star a)}\star a^{-1}$
In blau genau die Definition von $\gamma_a(g)$. Und darauf wird $\gamma_{a^{-1}}$ angewandt
Nun assoziativ umklammern, so dass du immer a und a^{-1} zusammenfasst, das sich dann zum neutralen Element vereinfacht
$=(a\star a^{-1})\star g\star(a\star a^{-1})=e_G\star g\star e_G=g$
>
> Bei der "anderen Richtung" oben ist es mir klar:
> [mm]\gamma_{a^{-1}}[/mm]
>
>
> Liebe Grüße und vielen vielen Dank für Deine Geduld
>
> steffi
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Steffi1988 |
Habe jetzt alles verstanden.
Vielen vielen Dank.
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