Beweis eines grenzwertes < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:39 Do 22.11.2012 | | Autor: | Duckx |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | $(q_n)_{n\in N)$ eine monoton steigende Folge rationaler Zahlen mit $\limes_{n\rightarrow\infty} q_n=\infty$. Zeigen Sie
$\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{q_n})^{q_n}=e$ und $\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{q_n})^{q_n}=e^{-1}$ |
$q_n$ soll ich dadurch für $g_n$ ersetzen wobei gilt:
$g_n \le q_n \le g_n+1$
nun soll ich $q_n$ durch $g_n$ abschätzen.
Für mich ist es aber schwer, jetzt $q_n$ einzuschränken durch $g_n$ und $g_n+1$
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:34 Do 22.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm](q_n)_{n\in N)[/mm] eine monoton steigende Folge rationaler
> Zahlen mit [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} q_n=\infty[/mm].
dabei kann man direkt o.E. auch annehmen, dass alle [mm] $q_n [/mm] > 0$ wären!
> Zeigen
> Sie
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{q_n})^{q_n}=e[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{q_n})^{q_n}=e^{-1}[/mm]
> [mm]q_n[/mm] soll ich dadurch für [mm]g_n[/mm] ersetzen wobei gilt:
> [mm]g_n \le q_n \le g_n+1[/mm]
Vermutlich soll jedes [mm] $g_n$ [/mm] ganzzahlig sein. Nimmt man zudem [mm] $q_n [/mm] > 0$
für alle [mm] $n\,$ [/mm] an, so kannst Du die Gaußklammer benutzen, um zu [mm] $q_n$ [/mm]
passende [mm] $g_n$ [/mm] anzugeben!
> nun soll ich [mm]q_n[/mm] durch [mm]g_n[/mm]
> abschätzen.
Sicher nicht - denn die [mm] $q_n$ [/mm] und [mm] $g_n$ [/mm] wurden doch gewählt mit einer
passenden Abschätzung. Du solltest sicher [mm] $\left(1+\frac{1}{q_n}\right)^{q_n}$
[/mm]
abschätzen, wenn man dort jedes [mm] $q_n$ [/mm] durch [mm] $g_n$ [/mm] ersetzt.
> Für mich ist es aber schwer, jetzt [mm]q_n[/mm] einzuschränken
> durch [mm]g_n[/mm] und [mm]g_n+1[/mm]
??
Wie gesagt, darum geht's doch gar nicht - sondern um die
"Folgenausdrücke" [mm] $(1+1/q_n)^{q_n}$ [/mm] bzw. [mm] $(1+1/g_n)^{g_n}$. [/mm]
Was hier hilft oder helfen kann:
Was weißt Du über die Folge [mm] $((1+1/n)^n)_{n \in \IN}$? [/mm] (Mir geht es
neben einer Konvergenzaussage/Grenzwertaussage vor allem über das
Monotonieverhalten.)
Damit kannst Du dann sicher zu [mm] $\lim_{n \to \infty}(1+1/q_n)^{q_n}=e$ [/mm] gelangen.
Tipp: Es liegt nahe, [mm] $(1+1/g_n)^{g_n} \le (1+1/q_n)^{q_n} \le (1+1/(g_n+1))^{g_n+1}$ [/mm] beweisen zu wollen.
Weiterhin: Nehmen wir mal [mm] $q_n=r_n/s_n=r/s$ [/mm] an mit [mm] $r_n=r,s_n=s \in \IN\,.$ [/mm]
Dann wäre doch
[mm] $$(1+1/q_n)^{q_n}=((1+s/r)^{r})^{1/s}\,.$$
[/mm]
Auch solche Überlegungen können helfen, wenn man vielleicht etwa etwas
über Folgen [mm] $((1+s/n)^n)_{n \in \IN}$ [/mm] mit einem festen $s [mm] \in \IN$ [/mm] weiß
oder sich überlegen kann. Du musst halt jetzt auch mal selbst ein bisschen
rumprobieren, wieweit Du mit welchem Wissen kommst, und ob man etwa
das von mir letztgesagte hier dann noch braucht oder nicht...
Für den Rest der Aufgabe - also um den Beweis von [mm] $\lim_{n \to \infty} (1-1/q_n)^{q_n}=1/e$ [/mm]
zu erbringen - würde ich so vorgehen:
Betrachte [mm] $(1-1/q_n)^{q_n}*(1+1/q_n)^{q_n}=(1-1/q_n^2)^{q_n}\,.$ [/mm] Zeige, dass [mm] $(1-1/q_n^2)^{q_n} \to 1\,:$
[/mm]
Klar ist, dass [mm] $(1-1/q_n^2)^{q_n} \le [/mm] 1$ - wenn wir o.E. etwa [mm] $q_n [/mm] > 1$
für alle [mm] $n\,$ [/mm] annehmen. Für den Rest hilft Bernoulli (wieder mit dem
Zwischenschritt, [mm] $q_n$ [/mm] vielleicht erstmal als Bruch zweier natürlicher
Zahlen zu schreiben und eventuell auch das Monotonieverhalten einer
jeden [mm] $\ell$-ten [/mm] Wurzelfunktion [mm] $\sqrt[\ell]{\cdot}: [0,\infty) \to [0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $\ell \in \IN$)...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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