Beweis eines Grenzwertsatzes < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen sie, dass [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} x^n\integral_{0}^{\infty}{f(t)e^{-xt} dt} = 0[/mm], wenn gilt [mm]|f| < M*x^n[/mm] für feste reelle Zahlen M, n sowie stückweise Stetigkeit von f. |
Hallo,
ich brauche Hilfe bei obiger Aufgabe. Ich hab das folgendermaßen (erfolglos) versucht:
[mm]x^n*\integral_{0}^{\infty}{f(t)e^{-xt} dt}[/mm]
habe ich nach der Bedingung für f nach oben abgeschätzt:
[mm]x^n*\integral_{0}^{\infty}{Mx^ne^{-xt} dt}
M*x^{2n}*\integral_{0}^{\infty}{e^{-xt} dt}[/mm]
was dabei übrigbleibt, ist letztendlich [mm]M*x^{2n-1}[/mm]. Das ist für [mm]x\rightarrow\infty[/mm] aber definitiv nicht null. Was ist mein Fehler?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Di 05.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Die Vor.
$ |f| < [mm] M\cdot{}x^n [/mm] $
ist so gemeint: $ |f(x)| < [mm] M\cdot{}x^n [/mm] $
Wenn Du damit in das Integral eingehst, verwende
$ |f(t)| < [mm] M\cdot{}t^n [/mm] $
FRED
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Hallo Fred,
das heißt, was sich dann ergibt, wäre:
[mm]\limes_{t\rightarrow\infty} t^n * \integral_{0}^{\infty}{Mt^ne^{-xt} dx} = 0[/mm]
Hab ich das soweit richtig verstanden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Di 05.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Fred,
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> das heißt, was sich dann ergibt, wäre:
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> [mm]\limes_{t\rightarrow\infty} t^n * \integral_{0}^{\infty}{Mt^ne^{-xt} dx} = 0[/mm]
>
> Hab ich das soweit richtig verstanden?
Nein, da hast du ja gegenüber deinem ersten Ansatz nur die Symbole x und t vertauscht. Setze die Abschätzung $|f(t)| < M [mm] t^n$ [/mm] in das gegebene Integral ein.
Viele Grüße
Rainer
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Ich bin verwirrt. Jetzt bleibt ja nur noch
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}M*x^n*\integral_{0}^{\infty}{t^ne^{-xt} dt} = 0[/mm]
als Option. Das Problem scheint hier wirklich das Verständnis der Aufgabe zu sein ^^ Falls das hier richtig ist, wie zur Hölle soll man das Integral lösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Di 05.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich bin verwirrt. Jetzt bleibt ja nur noch
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}M*x^n*\integral_{0}^{\infty}{t^ne^{-xt} dt} = 0[/mm]
>
> als Option.
Option ist kaum das richtige Wort. Diesmal hast du richtig eingesetzt.
> Das Problem scheint hier wirklich das
> Verständnis der Aufgabe zu sein ^^ Falls das hier richtig
> ist, wie zur Hölle soll man das Integral lösen?
Die Substitution $z=xt$ bietet sich an.
Das Integral kansnt du durch partielle Integration angehen, das führt auf eine Rekursionsformel für n.
Viele Grüße
Rainer
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