Beweis eines Grenzwertsatzes < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 So 02.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Ist [mm] f:(0,\infty) \to \IR [/mm] eine Funktion und h: [mm] (0,\infty) \to \IR^+ [/mm] eine stetig wachsende Funktion, mit [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}h(t) [/mm] = [mm] \infty, [/mm] so folgt aus
[mm] \limes_{t\rightarrow\infty} [/mm] f(h(t)) = c auch [mm] \limes_{t\rightarrow\infty}f(t) [/mm] = c. |
Die mathematische Aussage bei der Grenzwertberechnung anzuwenden traue ich mir zu.
Aber die Aussage beweisen kann ich nicht. Ich habe auch beim Stöbern in Büchern einen derartigen Beweis nicht gefunden, in meiner Vorlesungsmitschrift so wie so nicht. Dort findet man nur eine endlose Aneinanderreihung von "Definitionen" und "Notizen". Derartige Beweise sind "Übungsaufgaben".
Aber ich will hier im Forum nicht schimpfen, sondern mich lieber an das lateinische Wörtchen "studere" erinnen, was frei übersetzt: "sich bemühen" bedeutet!
Wer unterstützt mch ein wenig bei meinen "Bemühungen" eine Lösung zu der Aufgabe zu finden???
Einen schönen sonnigen Sonntag und besten Dank im Voraus.
Gruß didi_160
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 So 02.07.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Didi.
Zu zeigen ist, dass [mm] $\lim_{t\to\infty} [/mm] f(t) = c$ gilt. Was heißt das? Das heißt, dass für alle [mm] $\epsilon>0$ [/mm] ein [mm] $t_\epsilon$ [/mm] so existiert, dass [mm] $|f(t)-c|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $t\geq t_{\epsilon}$ [/mm] gilt.
Weiterhin ist bekannt, dass es zu jedem solchen [mm] $\epsilon$ [/mm] ein [mm] $t_{\epsilon}$ [/mm] so gibt, dass [mm] $f(h(t))-c|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $t\geq t_\epsilon$ [/mm] gilt.
Um nun beides in Verbindung zu bringen, musst du verwenden, dass wegen der Monotonie von $h$ die Äquivalenz [mm] $t\geq t_{\epsilon}\gdw h(t)\geq h(t_{\epsilon})$ [/mm] gilt und es wegen der Stetigkeit zu jedem [mm] $k\geq h(t_{\epsilon})$ [/mm] ein [mm] $t\geq t_{\epsilon}$ [/mm] mit $h(t)=k$ gibt.
Versuche nun, das alles zu einem Beweis zusammenzufügen.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:11 So 02.07.2006 | | Autor: | didi_160 |
Besten Dank Hanno,
jetzt habe ich erst mal einen Anfang.
Ich werde versuchen ob ich das hinkriege.
du schreibst:
> Um nun beides in Verbindung zu bringen, musst du verwenden,
> dass wegen der Monotonie von [mm]h[/mm] die Äquivalenz [mm]t\geq >t_{\epsilon}\gdw h(t)\geq h(t_{\epsilon})[/mm]
> gilt und es wegen der Stetigkeit zu jedem [mm]k\geq h(t_{\epsilon})[/mm]
> ein [mm]t\geq t_{\epsilon}[/mm] mit [mm]h(t)=k[/mm] gibt.
Wie ich beiden Aussagen verbinden soll weiß ich leider nicht.
gibst du mir noch einen Tipp?
Beste Grüße!
didi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 So 02.07.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Didi.
> Wie ich beiden Aussagen verbinden soll weiß ich leider nicht.
> gibst du mir noch einen Tipp?
Okay. Ich behaupte: für alle [mm] $t\geq h(t_{\epsilon})$ [/mm] gilt [mm] $|f(t)-c|<\epsilon$. [/mm] Kannst du dies beweisen?
Bedenke, wie [mm] $t_{\epsilon}$ [/mm] definiert war: so, dass für alle [mm] $t\geq t_{\epsilon}$ [/mm] stets [mm] $|f(h(t))-c|<\epsilon$ [/mm] gilt.
Beachte weiterhin die Äquivalenz, die ich in meinem vorigen Post nannte.
Liebe Grüße,
Hanno
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