Beweis eines Grenzwertes < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:22 So 08.01.2006 | | Autor: | alexus |
| Aufgabe | Beweisen sie folgende Gleichungen:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(n^k)/(a^n)=0 [/mm] (a>1)
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(a^n)/n!=0 [/mm] (a element R) |
Hallo
Ich beschäftige mich im Moment mit diesen beiden Aufgaben, komm aber bei beiden nicht so recht weiter. Mein Ansatz war halt bisher diese Folgen jeweils mit einer kleineren und einer größeren Folge, die auch den Grenzwert 0 haben, einzuklemmen. Ich habe aber bei beiden Aufgaben keine entsprechenden Hilfsfolgen gefunden. Wäre nett, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte.
Alex
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo alexus,
und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Deine Frage stammt aus der Analysis. Ich habe sie daher hier hin verschoben!!
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 So 08.01.2006 | | Autor: | alexus |
Ok, danke, mir sagen nur die ganzen Begriffe noch nich so viel, da bei mir einfach alles höhere Mathematik heißt. ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Beweisen sie folgende Gleichungen:
Hattet ihr schon den Satz von l'Hopital? Damit kann man (a) wesentlich schoener loesen.
> a) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(n^k)/(a^n)=0[/mm] (a>1)
Das die Folge irgendwann monoton fallend ist und niemals negativ wird ist recht einfach zu sehen. Sie muss also konvergieren. Wenn der Grenzwert nun $> 0$ ist, dann gibt es ein $b > 0$ mit [mm] $\frac{n^k}{a^n} [/mm] > b$ fuer fast alle $n$. Wenn du nun auf beide Seiten den Logarithmus anwendest (der ja streng monoton ist, also aendert er die Relation nicht), siehst du, dass fuer sehr grosses $n$ (und alle groesseren) die Gleichung nicht stimmt: also hast du einen Widerspruch und der Grenzwert ist $0$.
> b) [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a^n)/n!=0[/mm] (a
> element R)
Es gibt eine natuerliche Zahl $k > |a|$. Jetzt schreib mal [mm] $\frac{a^n}{n!} [/mm] = [mm] \frac{a^k}{k!} \cdot \frac{a^{n-k}}{\prod_{i=k+1}^n i} [/mm] = [mm] \frac{a^k}{k!} \cdot \prod_{i=k+1}^n \frac{a}{i}$. [/mm] Bekommst du nun eine Idee?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 So 08.01.2006 | | Autor: | alexus |
Jo, erstmal danke für deine schnelle Antwort, hab jedoch noch Fragen.
zu a)Geht das nicht vielleicht auch ohne l'hospital, weil wir hatten das noch nicht und sofort sehn, dass die folge monoton fällt, tuh ich auch nicht. Ich kann mir halt vorstellen, dass bei größeren Zahlen irgendwann der Exponent ne Zahl schneller gegen unendlich gehen lässt, als die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird, aber das is ja kein sauberer Beweis.
zu b)deine Umformung hab ich begriffen, bekomm nur leider keine idee.
sry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Jo, erstmal danke für deine schnelle Antwort, hab jedoch
> noch Fragen.
>
> zu a)Geht das nicht vielleicht auch ohne l'hospital, weil
Nun der Ansatz den ich geschildert hab geht ja gerade ohne l'Hospital.
> wir hatten das noch nicht und sofort sehn, dass die folge
> monoton fällt, tuh ich auch nicht. Ich kann mir halt
> vorstellen, dass bei größeren Zahlen irgendwann der
> Exponent ne Zahl schneller gegen unendlich gehen lässt, als
> die Zahl, die mit sich selbst multipliziert wird, aber das
> is ja kein sauberer Beweis.
Nun, damit sie an einer Stelle $n$ monoton fallend ist muss folgende Bedingung gelten [mm] $\frac{n^k}{a^n} [/mm] > [mm] \frac{(n+1)^k}{a^{n+1}}$. [/mm] Dies ist aequivalent zu [mm] $\left( \frac{n}{n+1} \right)^k [/mm] > [mm] \frac{1}{a}$, [/mm] und das wiederum zu $1 - [mm] \frac{1}{n + 1} [/mm] > [mm] \frac{1}{a^{1/k}}$. [/mm] Jetzt ist [mm] $a^{1/k} [/mm] > 1$, also [mm] $\frac{1}{a^{1/k}} [/mm] < 1$. Da nun $1 - [mm] \frac{1}{n+1}$ [/mm] gegen $1$ geht ist dies ab einem $n$ immer groesser als [mm] $\frac{1}{a^{1/k}}$: [/mm] also ist die Folge ab dann monoton fallend!
So. Jetzt hast du die Monotonie. Kommst du alleine weiter?
> zu b)deine Umformung hab ich begriffen, bekomm nur leider
> keine idee.
Nun, [mm] $\frac{a^k}{k!}$ [/mm] ist konstant. Also ist nur der Rest von Interesse: [mm] $\prod_{i=k+1}^n \frac{a}{i}$. [/mm] Nun ist $i > k > a$, womit [mm] $\frac{a}{i} [/mm] < 1$ ist. (Also ist auch das ganze Produkt $< 1$.) Und weiterhin gilt sogar [mm] $\frac{a}{i} \to [/mm] 0$ fuer $i [mm] \to \infty$. [/mm] (Siehe auch Loddars Hinweis.) Kommst du damit weiter?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 So 08.01.2006 | | Autor: | alexus |
Also hab ich das dann richtig verstanden, dass der Grenzwert 0 ist, da
[mm] a^k/k! [/mm] konstant ist und der andere faktor für n->unendlich gegen 0 geht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Also hab ich das dann richtig verstanden, dass der
> Grenzwert 0 ist, da
> [mm]a^k/k![/mm] konstant ist und der andere faktor für n->unendlich
> gegen 0 geht?
Genau.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 So 08.01.2006 | | Autor: | alexus |
Jo, dann bedank ich mich schon mal, dass du dir die Zeit genommen hasch mir diese Aufgabe zu erklären.
Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:43 So 08.01.2006 | | Autor: | alexus |
Hi
Also mein Problem ist halt folgendes, dass wir bisher noch nie etwas über Folgen und Grenzwerte hatten, außer, dass uns mal die Grenzwertdefinition hingeknallt wurde. Ich weiß jetzt nicht mal was du mit den Grenzwertsätzen meinst, das einzige was mir halt beim letzten faktor auffällt, ist dass er gegen 0 geht, weil ja n gegen unendlich geht und a fest ist.
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Grenzwertsatz nach de l'Hospital