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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen [mm] n\not=3 [/mm] die Ungleichung [mm] n^2 \le 2^n [/mm] gilt. |
Hallo zusammen.
Als erstes, weil darum gebeten wird: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Jetzt zur Sache.
Ich habe mir überlegt, für n=1, n=2 und n=4 es direkt zu zeigen. Für alle n [mm] \ge [/mm] 5 dachte ich mir zu zeigen, daß ein Ausdruck (etwa [mm] n^2 [/mm] + 1) existiert, der größer als [mm] n^2 [/mm] und kleiner als [mm] 2^n [/mm] ist.
Daß [mm] n^2 [/mm] < [mm] n^2 [/mm] + 1 ist, ist trivial. Aber wie kriege ich den zweiten Teil hin?
Ich danke für Anreize. :)
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> Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen [mm]n\not=3[/mm] die
> Ungleichung [mm]n^2 \le 2^n[/mm] gilt.
> Ich habe mir überlegt, für n=1, n=2 und n=4 es direkt zu
> zeigen.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du kannst nun mit vollständiger Induktion weitermachen, indem Du die Aussage für [mm] n\ge [/mm] 4 beweist.
Wenn Du sie für n=4 schon gezeigt hast, hast Du bereits Deinen Induktionsanfang.
Im Induktionsschluß zeigst Du, daß unter der Voraussetzung, daß die Aussage für alle [mm] n\ge [/mm] 4 gilt, sie auch für n+1 richtig ist.
Zu zeigen wäre hier also [mm] (n+1)^2 \le [/mm] 2^(n+1).
Du beginnst dazu mit [mm] (n+1)^2=..., [/mm] formst es geschickt um, schätzt es unter Zuhilfenahme der Induktionsvoraussetzung ab (... [mm] \le...), [/mm] bis am Ende ...=2^(n+1) dasteht.
>Für alle n [mm]\ge[/mm] 5 dachte ich mir zu zeigen, daß ein
> Ausdruck (etwa [mm]n^2[/mm] + 1) existiert, der größer als [mm]n^2[/mm] und
> kleiner als [mm]2^n[/mm] ist.
Ich verstehe Deinen Plan nicht.
Gruß v. Angela
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Liebe Angela,
> Hallo,
>
> .
Dankeschön. :) :)
> Du kannst nun mit vollständiger Induktion weitermachen,
> indem Du die Aussage für [mm]n\ge[/mm] 4 beweist.
Okay. Das kriege ich hin.
> >Für alle n [mm]\ge[/mm] 5 dachte ich mir zu zeigen, daß ein
> > Ausdruck (etwa [mm]n^2[/mm] + 1) existiert, der größer als [mm]n^2[/mm] und
> > kleiner als [mm]2^n[/mm] ist.
>
> Ich verstehe Deinen Plan nicht.
Meine Idee war: Wenn ich einen Ausdruck (zum Beispiel [mm] n^2+1 [/mm] ) finde, für den gilt [mm] n^2 [/mm] < "Ausdruck" < [mm] 2^n [/mm] , dann habe ich bewiesen, daß [mm] n^2<2^n.
[/mm]
Liebe Grüße, Marcel
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> Du kannst nun mit vollständiger Induktion weitermachen,
> indem Du die Aussage für [mm]n\ge[/mm] 4 beweist.
>
> Wenn Du sie für n=4 schon gezeigt hast, hast Du bereits
> Deinen Induktionsanfang.
>
> Im Induktionsschluß zeigst Du, daß unter der Voraussetzung,
> daß die Aussage für alle [mm]n\ge[/mm] 4 gilt, sie auch für n+1
> richtig ist.
>
> Zu zeigen wäre hier also [mm](n+1)^2 \le[/mm] 2^(n+1).
>
> Du beginnst dazu mit [mm](n+1)^2=...,[/mm] formst es geschickt um,
> schätzt es unter Zuhilfenahme der Induktionsvoraussetzung
> ab (... [mm]\le...),[/mm] bis am Ende ...=2^(n+1) dasteht.
Na gut, so einfach ist es dann doch nicht. Ich habe unter Annahme der Voraussetzung bis jetzt folgendes:
[mm] (n+1)^2=n^2+2n+1\le2^n+2n+1=(2^{n+1}+4n+2)/2
[/mm]
Aber wie kriege ich jetzt [mm] (2^{n+1}+4n+2)\*1/2=2^{n+1} [/mm] ?
Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg?
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Hallo Marcel!
Weise in einer Nebenrechnung nach, dass gilt: $2n+1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] n^2$ [/mm] . Dann bist du auch schon mit Deinem Induktionsschritt so gut wie fertig.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner.
Meinst Du [mm] 2n+1\le(n^2) [/mm] (I) oder [mm] 2n+1\le2^n [/mm] (II)?
Mit (II) und [mm] 2^n+2n+1 [/mm] würde folgen:
[mm] 2^n+2n+1\le2^n+2^n=2\*2^n=2^{n+1}
[/mm]
Aber ich schaffe es nicht, [mm] 2n+1\le2^n [/mm] zu beweisen.
Bei (I) sehe ich nicht, worauf es hinauslaufen soll. Auch wüßte ich nicht, [mm] 2n+1\le(n^2) [/mm] zu beweisen. (Quadratische Gleichung lösen?)
Liebe Grüße, Marcel
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> Meinst Du [mm]2n+1\le(n^2)[/mm] (I) oder [mm]2n+1\le2^n[/mm] (II)?
Er meint zweiteres.
>
> Mit (II) und [mm]2^n+2n+1[/mm] würde folgen:
>
> [mm]2^n+2n+1\le2^n+2^n=2\*2^n=2^{n+1}[/mm]
>
> Aber ich schaffe es nicht, [mm]2n+1\le2^n[/mm] zu beweisen.
Du könntest für n [mm] \ge [/mm] 4 eine kleine Induktion machen...
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Di 24.04.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Marcel!
Im ersten Schritt meinte ich schon $2n+1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] n^2$ [/mm] , um dann nochmals die Induktionsvoraussetzung anzuwenden:
$2n+1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] n^2 [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] 2^n$
[/mm]
Der Nachweis $2n+1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] n^2$ [/mm] ist auch schnell gemacht:
[mm] $\gdw$ $n^2-2n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1$ [mm] $\gdw$ $n^2-2n+1 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1$ [mm] $\gdw$ $(n-1)^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1$
offensichtlich richtig für $n \ [mm] \ge [/mm] \ 2$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Super. Danke Euch beiden. :)
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