Beweis einer Ungleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Mo 19.06.2006 | | Autor: | ko-al |
hallo,
ich bräuchte mal einen Ansatz für folgenden Beweis:
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] + [mm] \bruch{1}{y} [/mm] + [mm] \bruch{1}{z} \ge \bruch{9}{x+y+z}
[/mm]
für alle x,y,z größer 0.
danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Mo 19.06.2006 | | Autor: | viktory_hh |
so was würde mich auch interessieren, gibt's hier irgendwo auch noch mehr solcher Aufgaben und Ansätze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Di 20.06.2006 | | Autor: | DirkG |
Falls du die Ungleichung zwischen arithmetischen und harmonischen Mittel kennst, dann bist du unmittelbar fertig, wenn du diese auf die drei Werte [mm] $\frac{1}{x}$, $\frac{1}{y}$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{z}$ [/mm] anwendest.
Falls nicht, geht es auch so:
$$ [mm] (x+y+z)\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right) [/mm] = 3 + [mm] \left( \frac{y}{x}+\frac{x}{y} \right) [/mm] + [mm] \left( \frac{z}{y}+\frac{y}{z} \right) [/mm] + [mm] \left( \frac{x}{z}+\frac{z}{x} \right) [/mm] = 9 + [mm] \left( \sqrt{\frac{y}{x}}-\sqrt{\frac{x}{y}} \right)^2 [/mm] + [mm] \left( \sqrt{\frac{z}{y}}-\sqrt{\frac{y}{z}} \right)^2 [/mm] + [mm] \left( \sqrt{\frac{x}{z}}-\sqrt{\frac{z}{x}} \right)^2 \geq [/mm] 9 $$
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:39 Di 20.06.2006 | | Autor: | PixCell |
Hallo Dirk!
Auch ich habe an der Uni diese Aufgabe zu bearbeiten und mich natürlich über deine Ausführung gefreut. ; )
Würdest du mir evtl. erkären, wie auf unten stehende Umformung kommst?
3 + [mm] \left( \frac{y}{x}+\frac{x}{y} \right) [/mm] + [mm] \left( \frac{z}{y}+\frac{y}{z} \right) [/mm] + [mm] \left( \frac{x}{z}+\frac{z}{x} \right) [/mm] = 9 + [mm] \left( \sqrt{\frac{y}{x}}-\sqrt{\frac{x}{y}} \right)^2 [/mm] + [mm] \left( \sqrt{\frac{z}{y}}-\sqrt{\frac{y}{z}} \right)^2 [/mm] + [mm] \left( \sqrt{\frac{x}{z}}-\sqrt{\frac{z}{x}} \right)^2 [/mm]
Im speziellen, wie du von der 3 auf die 9 kommst. Den Rest habe ich ja noch verstanden...
Dank im Voraus für deine Mühe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Di 20.06.2006 | | Autor: | PixCell |
...ähm denken hilft!
Ich bin jetzt auch von selbst draufgekommen.
Trotzdem vielen Dank
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