Beweis einer Teilmenge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 So 03.11.2013 | | Autor: | Flowers |
| Aufgabe | Es sei f:X→Y eine Funktion, I eine Menge und Xi⊆X für alle i∈I. Zeige:
a)f(⋂Xi)⊆⋂f(Xi)
b)f ist genau dann injektiv, wenn für alle A,B⊆X gilt:
f(A⋂B)=f(A)⋂f(B). |
Ich habe die Beweise verstanden, bei denen zwischen den beiden Mengen ein "=" steht. Nun ist eine Menge aber Teilmenge einer anderen.
Ich habe mich an der Lösung versucht, bin mir aber absolut nicht sicher, ob das richtig ist. Irgendwie scheint es mir nicht schlüssig, aber ich finde den Fehler nicht.
Hier meine Ansätze: y=f(x)
zu a) Sei y∈f(⋂Xi)⇒∃x∈⋂Xi⇒∃x∈Xi⇒∃y∈f(Xi)⇒∃y⋂f(Xi)
Sei y∈⋂f(Xi)⇒∃y∈f((Xi)⇒∃x∈Xi⇒∀x∈X aber nicht ∀x∈⋂Xi⇒ nicht ∀y∈f(⋂Xi)⇒⋂f(Xi)⊇f(⋂Xi)
zu b) Sei y∈f(A⋂B)⇔∀x∈A⋂B⇔∀x∈A und ∀x∈B⇔∃y∈f(A) und ∃y∈f(B)⇔∃y∈f(A)⋂f(B)
Ich habe versucht die mathematischen Schriftzeichen zu verwenden. Hoffe, es ist verständlich, was ich sagen will.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand bei der Lösung Unterstützung geben könnte. Ich will gar keine fertige Lösung, da ich das Thema unbedingt verstehen möchte.
Vielen Dank im Voraus.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Sind-meine-Beweise-richtig
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=530471
Leider habe ich dort in den letzten zwei Tagen keine Hilfe bekommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:33 So 03.11.2013 | | Autor: | hippias |
> Es sei f:X→Y eine Funktion, I eine Menge und Xi⊆X für
> alle i∈I. Zeige:
> a)f(⋂Xi)⊆⋂f(Xi)
> b)f ist genau dann injektiv, wenn für alle A,B⊆X gilt:
> f(A⋂B)=f(A)⋂f(B).
> Ich habe die Beweise verstanden, bei denen zwischen den
> beiden Mengen ein "=" steht. Nun ist eine Menge aber
> Teilmenge einer anderen.
> Ich habe mich an der Lösung versucht, bin mir aber absolut
> nicht sicher, ob das richtig ist. Irgendwie scheint es mir
> nicht schlüssig, aber ich finde den Fehler nicht.
>
> Hier meine Ansätze: y=f(x)
>
> zu a) Sei
> y∈f(⋂Xi)⇒
> ∃x∈⋂Xi
Dies ist doch keine Aussage: es sollte wohl besser heissen [mm] $\exists x\in \cap_{i\in I} X_{i}: [/mm] y= f(x)$.
> ⇒∃x∈Xi⇒∃y∈f(Xi)⇒∃y⋂f(Xi)
Das ergibt keinen rechten Sinn, obwohl ich mir sicher bin, dass Du das Richtige meinst. Mach es einfach in Worten: Du hast Dir ueberlegt, dass $y= f(x)$ fuer ein gewisses [mm] $x\in \cap_{i\in I} X_{i}$. [/mm] Da somit [mm] $x\in X_{i}$ [/mm] fuer jedes [mm] $i\in [/mm] I$ gilt, ist insbesondere $y= [mm] f(x)\in f(X_{i})$ [/mm] fuer jedes [mm] $i\in [/mm] I$. Folglich ist [mm] $y\in \cap_{i\in I} f(X_{i})$.
[/mm]
>
> Sei y∈⋂f(Xi)⇒∃y∈f((Xi)⇒∃x∈Xi⇒∀x∈X
> aber nicht ∀x∈⋂Xi⇒ nicht
> ∀y∈f(⋂Xi)⇒⋂f(Xi)⊇f(⋂Xi)
Deine Schlussfolgerung scheint wieder zu stimmen, denn Du machst Dir scheinbar klar, dass die umgekehrte Inklusion nicht gelten muss, womit Du ja auch recht hast. Diese Ueberlegung ist von der Aufgabenstellung her nicht notwendig, das obige ist ausreichend. Jedoch ist es formal ziemlich unsinnig.
>
> zu b) Sei y∈f(A⋂B)⇔∀x∈A⋂B⇔∀x∈A und
> ∀x∈B⇔∃y∈f(A) und
> ∃y∈f(B)⇔∃y∈f(A)⋂f(B)
Das ist ganz unklar. Fuehre den Beweis in zwei Teilen. Setze einmal voraus, dass $f$ injektiv ist und schlussfolgere daraus, dass dann [mm] $f(A\cap [/mm] B)= [mm] f(A)\cap [/mm] f(B)$ fuer alle [mm] $A\subseteq [/mm] B$ gilt.
Dann setze voraus, dass [mm] $f(A\cap [/mm] B)= [mm] f(A)\cap [/mm] f(B)$ fuer alle [mm] $A\subseteq [/mm] B$ gilt und weise nach, dass dann $f$ injektiv ist (Mein Tip: Beweis durch Widerspruch)
>
> Ich habe versucht die mathematischen Schriftzeichen zu
> verwenden. Hoffe, es ist verständlich, was ich sagen will.
Du tust Dir einen Gefallen, wenn Du LaTex lernst. Aber Formeln sind nicht alles: Beweise werden mit vielen Worten gefuehrt.
>
> Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand bei der
> Lösung Unterstützung geben könnte. Ich will gar keine
> fertige Lösung, da ich das Thema unbedingt verstehen
> möchte.
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Sind-meine-Beweise-richtig
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=530471
> Leider habe ich dort in den letzten zwei Tagen keine Hilfe
> bekommen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 So 03.11.2013 | | Autor: | Flowers |
Hallo hippias,
danke für die Antwort. Also kann ich in Aufgabe a) den zweiten Teil weglassen? Wir haben gelernt, dass der Beweis immer für beide Seiten zu führen ist. Allerdings hatte wir bisher nur Beweise mit "=" dazwischen. Mit der Teilmenge, weiß ich es halt nicht richtig zu formulieren.
in Aufgabe b) sage ich dann "f ist injektiv"
$ [mm] f(A\cap [/mm] B)= [mm] f(A)\cap [/mm] f(B) $
Sei y [mm] \in f(A\cap [/mm] B) [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in A\cap [/mm] B: y=f(x)
[mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] A und x [mm] \in [/mm] B [mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A) und y [mm] \in [/mm] f(B) [mm] \Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] f(A) [mm] \cap [/mm] f(B)
Ich verstehe nun nicht warum A Teilmenge von B ist, wenn doch A, B Teilmengen von X sein sollen?
Injektiv bedeutet doch, dass alle Werte aus der Menge X einen Wert in der Menge Y haben und jeder Wert in Y höchstens einmal "getroffen" wird.
Das heißt alle x-Werte aus der Schnittmenge von A und B haben einen y-Wert in der Schnittmenge aus f(A) und f(B). Aber nicht jeder y-Wert in der Schnittmenge aus f(A) und f(B) gehören zu einem x-Wert aus der Schnittmenge aus A und B.
Verstehe ich das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:04 Mo 04.11.2013 | | Autor: | hippias |
> Hallo hippias,
>
> danke für die Antwort. Also kann ich in Aufgabe a) den
> zweiten Teil weglassen? Wir haben gelernt, dass der Beweis
> immer für beide Seiten zu führen ist. Allerdings hatte
> wir bisher nur Beweise mit "=" dazwischen. Mit der
> Teilmenge, weiß ich es halt nicht richtig zu formulieren.
Das $=$ macht hier den Unterschied aus: denn $A= B$ ist eine Kurzschreibweise fuer [mm] $A\subseteq [/mm] B$ und [mm] $B\subseteq [/mm] A$. Daher hat der Beweis einer Mengengleichheit zwei Teile. Du musst aber nur den einen Teil bearbeiten. Deine weiteren Ueberlegungen waren zwar richtig, aber nicht erforderlich.
>
> in Aufgabe b) sage ich dann "f ist injektiv"
> [mm]f(A\cap B)= f(A)\cap f(B)[/mm]
> Sei y [mm]\in f(A\cap[/mm] B)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in A\cap[/mm] B: y=f(x)
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm] A und x [mm]\in[/mm] B [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\in[/mm] f(A) und
> y [mm]\in[/mm] f(B) [mm]\Rightarrow[/mm] y [mm]\in[/mm] f(A) [mm]\cap[/mm] f(B)
Richtig, das war der "einfache" Teil des Beweises; der uebrigens sofort aus dem Teil a. folgt.
>
> Ich verstehe nun nicht warum A Teilmenge von B ist, wenn
> doch A, B Teilmengen von X sein sollen?
Tja, jetzt verstehe ich nicht, was es da zu verstehen geben soll  Das ist einfach die passende Voraussetzung um die Injektivitaet zu charakterisieren.
> Injektiv bedeutet doch, dass alle Werte aus der Menge X
> einen Wert in der Menge Y haben und jeder Wert in Y
> höchstens einmal "getroffen" wird.
>
> Das heißt alle x-Werte aus der Schnittmenge von A und B
> haben einen y-Wert in der Schnittmenge aus f(A) und f(B).
> Aber nicht jeder y-Wert in der Schnittmenge aus f(A) und
> f(B) gehören zu einem x-Wert aus der Schnittmenge aus A
> und B.
>
> Verstehe ich das so richtig?
Ja. Nimm also an, dass $f$ diese merkwuerdige Eigenschaft hat, dass [mm] $f(A\cap [/mm] B)= [mm] f(A)\cap [/mm] f(B)$ fuer alle [mm] $A\subseteq [/mm] B$ ist. Was hiesse es denn jetzt nach Definition, wenn $f$ nicht injektiv ist? Kannst Du damit einen Widerspruch zu der Voraussetzung herleiten?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Mo 04.11.2013 | | Autor: | Flowers |
Hallo hippias,
Also für x Element von A [mm] \subseteq [/mm] B ist f injektiv wenn alle x Element von A einem y Element f(A [mm] \cap [/mm] B) zugewiesen sind und jedes y höchstens einen x Wert hat.
Nicht injektiv würde dann bedeuten, wenn ein x aus B aber nicht aus A einem y zugewiesen ist. Oder wenn ein y mehr als ein x Wert hat.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 Mo 04.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo hippias,
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> Also für x Element von A [mm]\subseteq[/mm] B ist f injektiv wenn
> alle x Element von A einem y Element f(A [mm]\cap[/mm] B)
> zugewiesen sind und jedes y höchstens einen x Wert hat.
> Nicht injektiv würde dann bedeuten, wenn ein x aus B aber
> nicht aus A einem y zugewiesen ist. Oder wenn ein y mehr
> als ein x Wert hat.
>
Nein. Das geht völlig daneben ! Hippias hat sich verschrieben.
Die Vor. lautet $ [mm] f(A\cap [/mm] B)= [mm] f(A)\cap [/mm] f(B) $ fuer alle $ A, B [mm] \subseteq [/mm] X.$
Zeigen sollst Du, dass f injektiv ist.
Zeige also: aus [mm] x_1,x_2 \in [/mm] X und [mm] f(x_1)=f(x_2) [/mm] folgt : [mm] x_1=x_2
[/mm]
Dazu def. [mm] A:=\{x_1\} [/mm] und [mm] B:=\{x_2\}
[/mm]
FRED
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